ã带Peanoä½é¡¹çTaylorå
¬å¼ï¼
Maclaurinå
¬å¼ï¼ï¼å¯ä»¥åå¤å©ç¨L'Hospitalæ³åæ¥æ¨å¯¼ï¼
ããf(x)=f(x0)+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+â¦+f^(n) (x0)/n!(x-x0)^n+o((x-x0)^n)
ããæ³°åä¸å¼å®çï¼å¸¦ææ ¼éæ¥ä½é¡¹çæ³°åå
¬å¼ï¼ï¼è¥å½æ°f(xï¼å¨å«æxçå¼åºé´ï¼aï¼bï¼æç´å°n+1é¶ç导æ°ï¼åå½å½æ°å¨æ¤åºé´å
æ¶ï¼å¯ä»¥å±å¼ä¸ºä¸ä¸ªå
³äºï¼x-xãï¼å¤é¡¹å¼åä¸ä¸ªä½é¡¹çåï¼
ããf(x)=f(xã)+f'(xã)(x-xã)+f''(xã)/2!*(x-xã)^2,+f'''(xã)/3!*(x-xã)^3+â¦â¦+f(n)(xã)/n!*(x-xã)^n+Rn(x)
ããå
¶ä¸Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1ï¼ï¼*(x-x.)^(n+1)ï¼è¿éξå¨xåxãä¹é´ï¼è¯¥ä½é¡¹ç§°ä¸ºææ ¼ææ¥åçä½é¡¹ã
ããï¼æ³¨ï¼f(n)(xã)æ¯f(xã)çné¶å¯¼æ°ï¼ä¸æ¯f(n)ä¸xãçç¸ä¹ãï¼
ãã使ç¨Taylorå
¬å¼çæ¡ä»¶æ¯ï¼f(x)né¶å¯å¯¼ãå
¶ä¸o((x-x0)^n)表示æ¯æ ç©·å°(x-x0)^næ´é«é¶çæ ç©·å°ã
ããTaylorå
¬å¼æå
¸åçåºç¨å°±æ¯æ±ä»»æå½æ°çè¿ä¼¼å¼ãTaylorå
¬å¼è¿å¯ä»¥æ±çä»·æ ç©·å°ï¼è¯æä¸çå¼ï¼æ±æéç
ç¼è¾æ¬æ®µè¯æ
ããæ们ç¥éf(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+αï¼æ ¹æ®ææ ¼ææ¥ä¸å¼å®ç导åºçæéå¢éå®çælimÎxâ0 f(x.+Îx)-f(x.)=f'(x.)Îxï¼å
¶ä¸è¯¯å·®Î±æ¯å¨limÎxâ0 å³limxâx.çåæä¸æè¶åäº0ï¼æ以å¨è¿ä¼¼è®¡ç®ä¸å¾å¾ä¸å¤ç²¾ç¡®ï¼äºæ¯æ们éè¦ä¸ä¸ªè½å¤è¶³å¤ç²¾ç¡®çä¸è½ä¼°è®¡åºè¯¯å·®çå¤é¡¹å¼ï¼
ããP(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+â¦â¦+An(x-x.)^n
ããæ¥è¿ä¼¼å°è¡¨ç¤ºå½æ°f(xï¼ä¸è¦ååºå
¶è¯¯å·®f(x)-P(xï¼çå
·ä½è¡¨è¾¾å¼ã设å½æ°P(xï¼æ»¡è¶³P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.ï¼ï¼â¦â¦ï¼P(n)(x.)=f(n)(x.ï¼ï¼äºæ¯å¯ä»¥ä¾æ¬¡æ±åºA0ãA1ãA2ãâ¦â¦ãAnãæ¾ç¶ï¼P(x.)=A0ï¼æ以A0=f(x.ï¼ï¼P'(x.)=A1,A1=f'(x.ï¼ï¼P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2ï¼â¦â¦P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/nï¼ãè³æ¤ï¼å¤é¡¹çå项系æ°é½å·²æ±åºï¼å¾ï¼P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+[f''(x.)/2!](x-x.)^2+â¦â¦+[f(n)(x.)/n!](x-x.)^n.
ããæ¥ä¸æ¥å°±è¦æ±è¯¯å·®çå
·ä½è¡¨è¾¾å¼äºã设Rn(x)=f(x)-P(xï¼ï¼äºæ¯æRn(x.)=f(x.)-P(x.)=0ãæ以å¯ä»¥å¾åºRn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=â¦â¦=Rn(n)(x.)=0ãæ ¹æ®æ¯è¥¿ä¸å¼å®çå¯å¾Rn(x)/(x-x.)^(n+1ï¼=ï¼Rn(x)-Rn(x.ï¼ï¼/ï¼ï¼x-x.)^(n+1ï¼-0ï¼=Rn'ï¼Î¾1ï¼/(n+1ï¼ï¼Î¾1-x.)^nï¼æ³¨ï¼ï¼x.-x.)^(n+1ï¼=0ï¼ï¼è¿éξ1å¨xåx.ä¹é´ï¼ç»§ç»ä½¿ç¨æ¯è¥¿ä¸å¼å®çå¾ï¼Rn'ï¼Î¾1ï¼-Rn'(x.ï¼ï¼/ï¼ï¼n+1ï¼ï¼Î¾1-x.)^n-0ï¼=Rn''ï¼Î¾2ï¼/n(n+1ï¼ï¼Î¾2-x.)^(n-1ï¼è¿éξ2å¨Î¾1ä¸x.ä¹é´ï¼è¿ç»ä½¿ç¨n+1次åå¾åºRn(x)/(x-x.)^(n+1ï¼=Rn(n+1ï¼ï¼Î¾ï¼/(n+1ï¼ï¼ï¼è¿éξå¨x.åxä¹é´ãä½Rn(n+1ï¼ï¼x)=f(n+1ï¼ï¼x)-P(n+1ï¼ï¼xï¼ï¼ç±äºP(n)(x)=n!An,n!Anæ¯ä¸ä¸ªå¸¸æ°ï¼æ
P(n+1ï¼ï¼x)=0ï¼äºæ¯å¾Rn(n+1ï¼ï¼x)=f(n+1ï¼ï¼xï¼ã综ä¸å¯å¾ï¼ä½é¡¹Rn(x)=f(n+1ï¼ï¼Î¾ï¼/(n+1ï¼ï¼?(x-x.)^(n+1ï¼ãä¸è¬æ¥è¯´å±å¼å½æ°æ¶é½æ¯ä¸ºäºè®¡ç®çéè¦ï¼æ
xå¾å¾è¦åä¸ä¸ªå®å¼ï¼æ¤æ¶ä¹å¯æRn(xï¼å为Rnã
麦å
å³æå±å¼å¼
ããï¼è¥å½æ°f(xï¼å¨å¼åºé´ï¼aï¼bï¼æç´å°n+1é¶ç导æ°ï¼åå½å½æ°å¨æ¤åºé´å
æ¶ï¼å¯ä»¥å±å¼ä¸ºä¸ä¸ªå
³äºxå¤é¡¹å¼åä¸ä¸ªä½é¡¹çåï¼
ããf(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+â¦â¦+f(n)(0)/n!?x^n+Rn
ããå
¶ä¸Rn=f(n+1ï¼ï¼Î¸x)/(n+1ï¼ï¼?x^(n+1ï¼ï¼è¿é0<ï¼ï¼Î¸<1ã
ããè¯æï¼å¦ææ们è¦ç¨ä¸ä¸ªå¤é¡¹å¼P(x)=A0+A1x+A2x^2+â¦â¦+Anx^næ¥è¿ä¼¼è¡¨ç¤ºå½æ°f(xï¼ä¸è¦è·å¾å
¶è¯¯å·®çå
·ä½è¡¨è¾¾å¼ï¼å°±å¯ä»¥ææ³°åå
¬å¼æ¹å为æ¯è¾ç®åçå½¢å¼å³å½x.=0æ¶çç¹æ®å½¢å¼ï¼
ããf(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+â¦â¦+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1ï¼ï¼Î¾ï¼/(n+1ï¼ï¼?x^(n+1ï¼
ããç±äºÎ¾å¨0å°xä¹é´ï¼æ
å¯åä½Î¸xï¼0<ï¼ï¼Î¸<1ã
麦å
å³æå±å¼å¼çåºç¨
ããï¼
ãã1ãå±å¼ä¸è§å½æ°y=sinxåy=cosxã
ãã解ï¼æ ¹æ®å¯¼æ°è¡¨å¾ï¼f(x)=sinx,f'(x)=cosx,f''(x)=-sinx,f'''(x)=-cosx,fâ·ï¼x)=sinxâ¦â¦
ããäºæ¯å¾åºäºå¨æè§å¾ãåå«ç®åºf(0)=0ï¼f'(0)=1,f''(x)=0,f'''(0)=-1,fâ·=0â¦â¦
ããæåå¯å¾ï¼sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+x^9/9!-â¦â¦ï¼è¿éå°±åææ 穷级æ°çå½¢å¼äºãï¼
ãã类似å°ï¼å¯ä»¥å±å¼y=cosxã
ãã2ã计ç®è¿ä¼¼å¼e=lim xââ ï¼1+1/x)^xã
ãã解ï¼å¯¹ææ°å½æ°y=e^xè¿ç¨éº¦å
å³æå±å¼å¼å¹¶èå¼ä½é¡¹ï¼
ããe^xâ1+x+x^2/2!+x^3/3!+â¦â¦+x^n/n!
ããå½x=1æ¶ï¼eâ1+1+1/2!+1/3!+â¦â¦+1/n!
ããån=10ï¼å³å¯ç®åºè¿ä¼¼å¼eâ2.7182818ã
ãã3ã欧æå
¬å¼ï¼e^ix=cosx+isinxï¼i为-1çå¼æ¹ï¼å³ä¸ä¸ªèæ°åä½ï¼
ããè¯æï¼è¿ä¸ªå
¬å¼æå¤æ°å为äºå¹ææ°å½¢å¼ï¼å
¶å®å®ä¹æ¯ç±éº¦å
å³æå±å¼å¼ç¡®åå°è¯´æ¯éº¦å
å³æ级æ°è¯æçãè¿ç¨å
·ä½ä¸åäºï¼å°±ææ路讲ä¸ä¸ï¼å
å±å¼ææ°å½æ°e^zï¼ç¶åæå项ä¸çzåæixãç±äºiçå¹å¨ææ§ï¼å¯å·²æç³»æ°ä¸å«æåiç项ç¨ä¹æ³åé
å¾åå¨ä¸èµ·ï¼å©ä½ç项åå¨ä¸èµ·ï¼å好æ¯cosx,sinxçå±å¼å¼ãç¶å让sinxä¹ä¸æåºçiï¼å³å¯å¯¼åºæ¬§æå
¬å¼ãæå
´è¶£çè¯å¯èªè¡è¯æä¸ä¸ã
ç¼è¾æ¬æ®µæ³°åå±å¼å¼åç
ããeçåç°å§äºå¾®åï¼å½ h éæ¸æ¥è¿é¶æ¶ï¼è®¡ç® ä¹å¼ï¼å
¶ç»ææ éæ¥è¿ä¸å®å¼ 2.71828...ï¼è¿ä¸ªå®å¼å°±æ¯ eï¼ææ©åç°æ¤å¼ç人æ¯ç士èåæ°å¦å®¶æ¬§æï¼ä»ä»¥èªå·±å§åçå头å°å e æ¥å½åæ¤æ çæ°.
ãã计ç®å¯¹æ°å½æ° ç导æ°ï¼å¾ï¼å½ a=e æ¶ï¼ç导æ°ä¸ºï¼å èæçç±ä½¿ç¨ä»¥ e 为åºç对æ°ï¼è¿å«ä½èªç¶å¯¹æ°.
ããè¥å°ææ°å½æ° ex ä½æ³°åå±å¼ï¼åå¾
ãã以 x=1 代å
¥ä¸å¼å¾
ããæ¤çº§æ°æ¶æè¿
éï¼e è¿ä¼¼å°å°æ°ç¹å 40 ä½çæ°å¼æ¯
ããå°ææ°å½æ° ex æ©å¤§å®çå®ä¹åå°å¤æ° z=x+yi æ¶ï¼ç±
ããéè¿è¿ä¸ªçº§æ°ç计ç®ï¼å¯å¾
ããç±æ¤ï¼De Moivre å®çï¼ä¸è§å½æ°çåå·®è§å
¬å¼ççé½å¯ä»¥è½»æå°å¯¼åº.è¬å¦è¯´ï¼z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,
ããå¦æ¹é¢ï¼
ããæ以ï¼
ããæ们ä¸ä»
å¯ä»¥è¯æ e æ¯æ çæ°ï¼èä¸å®è¿æ¯ä¸ªè¶
è¶æ°ï¼å³å®ä¸æ¯ä»»ä½ä¸ä¸ªæ´ç³»æ°å¤é¡¹å¼çæ ¹ï¼è¿ä¸ªç»ææ¯ Hermite å¨1873å¹´å¾å°ç.
ããç²ï¼å·®å.
ããèèä¸ä¸ªç¦»æ£å½æ°ï¼å³æ°åï¼ Rï¼å®å¨ n æåçå¼ u(n) è®°æ unï¼é常æ们就æè¿ä¸ªå½æ°ä¹¦æ æ (un).æ°å u çå·®å è¿æ¯ä¸ä¸ªæ°åï¼å®å¨ n æåçå¼ä»¥å®ä¹ä¸º
ãã以åæ们干èå°±æ ç®è®°ä¸º
ããï¼ä¾ï¼ï¼æ°å 1,4,8,7,6,-2,... çå·®åæ°å为 3,4,-1,-1,-8 ...
ãã注ï¼æ们说ãæ°åãæ¯ãå®ä¹å¨ç¦»æ£ç¹ä¸çå½æ°ãå¦æå¨é«ä¸ï¼è¿æ ·ç说æ³å°±å¾æ¶å£.ä½å¨æ¤å°ï¼å´å¾æ°å½ï¼å 为è¿æ ·æè·è¿ç»åçå½æ°å
·æå®å
¨å¹³è¡çç±»æ¨.
ããå·®åç®åçæ§è´¨
ããï¼i) [å称线æ§]
ããï¼ii) ï¼å¸¸æ°ï¼ [å·®åæ¹ç¨æ ¹æ¬å®ç]
ããï¼iii)
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¶ä¸ï¼è (n(k) å«åæåæ°å.
ããï¼iv) å«åèªç¶çæ¯æ°å.
ããï¼iv)' ä¸è¬çææ°æ°åï¼å ä½æ°åï¼rn ä¹å·®åæ°åï¼å³ã导å½æ°ãï¼ä¸º rn(r-1ï¼
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ããå®ç1 ï¼å·®ååæ ¹æ¬å®çï¼ å¦ææ们è½å¤æ¾å°ä¸ä¸ªæ°å (vnï¼ï¼ä½¿å¾ï¼å
ããååä¹å
·æ线æ§çæ§è´¨ï¼
ããç²ï¼å¾®å
ããç»ä¸ä¸ªå½æ° fï¼è¥çé¡¿åï¼æå·®ååï¼ çæé åå¨ï¼åæ们就称æ¤æéå¼ä¸º f ä¸ºç¹ x0 ç导æ°ï¼è®°ä¸º f'(x0) æ Df(xï¼ï¼äº¦å³
ããè¥ f å¨å®ä¹åºåä¸æ¯ä¸ç¹å¯¼æ°é½åå¨ï¼å称 f 为å¯å¯¼å¾®å½æ°.æ们称 为 f ç导å½æ°ï¼è å«åå¾®åç®å.
ããå¾®åç®åçæ§è´¨ï¼
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ããï¼ii) ï¼å¸¸æ°ï¼ [å·®åæ¹ç¨æ ¹æ¬å®ç]
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ããï¼iv) Dex=ex
ããï¼iv)' ä¸è¬çææ°æ°å ax ä¹å¯¼å½æ°ä¸º
ããï¼ä¹ï¼ç§¯å.
ãã设 f 为å®ä¹å¨ [a,b] ä¸çå½æ°ï¼ç§¯åçé®é¢å°±æ¯è¦ç®é´å½±çé¢ç§¯.æ们çåæ³æ¯å¯¹ [a,b] ä½åå²ï¼
ããï¼å
¶æ¬¡å¯¹æ¯ä¸å°æ®µ [xi-1,xi] åä¸ä¸ªæ ·æ¬ç¹ ï¼åæ±è¿ä¼¼å ï¼æåååæé ï¼è®©æ¯ä¸å°æ®µçé¿åº¦é½è¶è¿äº 0).
ããè¥è¿ä¸ªæéå¼åå¨ï¼æ们就记为 çå ä½æä¹å°±æ¯é´å½±çé¢ç§¯.
ããï¼äºå®ä¸ï¼è¿ç»æ§ä¹ãå·®ä¸å¤ãæ¯ç§¯ååå¨çå¿
è¦æ¡ä»¶.)
ãã积åç®åä¹å
·æ线æ§çæ§è´¨ï¼
ããå®ç2 è¥ f 为ä¸è¿ç»å½æ°ï¼å åå¨.ï¼äºå®ä¸ï¼è¿ç»æ§ä¹ãå·®ä¸å¤ãæ¯ç§¯ååå¨çå¿
è¦æ¡ä»¶.)
ããå®ç3 (微积åæ ¹æ¬å®çï¼ è®¾ f 为å®ä¹å¨éåºé´ [a,b] ä¸çè¿ç»å½æ°ï¼æ们欲æ±ç§¯å å¦ææ们å¯ä»¥æ¾å°å¦ä¸ä¸ªå½æ° gï¼ä½¿å¾ g'=fï¼å
ãã注ï¼â´âµä¸¤å¼è½æ¯ç±»æ¨ï¼ä½æä¸ç¹ç¹å·®å¼ï¼å³ååçä¸éè¦å¾å°å¿ï¼
ããä¸é¢å®ç1åå®ç3åºæ¬ä¸é½è¡¨è¿°çå·®åä¸ååï¼å¾®åä¸ç§¯åï¼æ¯ä¸¤ä¸ªäºéçæä½ï¼å°±å¥½åå æ³ä¸åæ³ï¼ä¹æ³ä¸é¤æ³æ¯äºéçæä½ä¸æ ·.
ããæ们é½ç¥éå·®åä¸å¾®åçæä½æ¯ååä¸ç§¯åç®åå¤äºï¼èä¸é¢å®ç1åå®ç3åè¯æ们ï¼è¦è®¡ç® (un) çååå f ç积åï¼åªè¦å»æ¾å¦ä¸ä¸ª (vn) å g 满足ï¼g'=f ï¼è¿æ¯å·®ååå¾®åçé®é¢ï¼ï¼é£ä¹å¯¹ vn å g 代å
¥ä¸ä¸éå°±å¾å°çæ¡äº.æ¢å¥è¯è¯´ï¼æ们å¯ä»¥ç¨è¾ç®åçå·®ååå¾®åæä½æ¥ææ¡è¾é¾çååå积åæä½ï¼è¿å°±æ¯"以ç®å¾¡ç¹"çç²¾ç¥.çé¡¿ä¸è±å¸å°¼æ
对微积åæ大çè´¡ç®å°±å¨æ¤.
ããç²ï¼Taylorå±å¼å
¬å¼
ããè¿åå«æ离æ£ä¸è¿ç»çç±»æ¨.å®æ¯æ°å¦ä¸ãé¼è¿ãè¿ä¸ªéè¦æ³æ³çä¸ä¸ªç¹ä¾.é¼è¿æ³æ³çæææ¯è¿æ ·çï¼ç»ä¸ä¸ªå½æ° fï¼æ们è¦ç 究 f çè¡ä¸ºï¼ä½ f æ¬èº«å¯è½å¾å¤æèä¸æ对ä»ï¼äºæ¯æ们就æ³æ³åå»æ¾ä¸ä¸ªè¾ãç®åãçå½æ° gï¼ä½¿å
¶è· f å¾ãé è¿ãï¼é£ä¹æä»¬å°±ç¨ g æ¥å代 f.è¿åæ¯ä»¥ç®å¾¡ç¹çç²¾ç¥è¡¨ç°.ç±ä¸è¿°æ们çåºï¼è¦ä½¿ç¨é¼è¿æ³æ³ï¼æ们è¿éè¦æ¾æ¸
ãã两个é®é¢ï¼å³å¦ä½éåç®åå½æ°åé¼è¿ç尺度.
ããï¼ä¸ï¼ 对äºè¿ç»ä¸ççæ
å½¢ï¼Taylor å±å¼çé¼è¿æ³æ³æ¯éåå¤é¡¹å½æ°ä½ä¸ºç®åå½æ°ï¼å¹¶ä¸ç¨å±é¨çãåè¿ãä½ä¸ºé¼è¿å°ºåº¦.说å¾æ´æç½ä¸ç¹ï¼ç»ä¸ä¸ªç´å°å° n é¶é½å¯å¯¼å¾®çå½æ° fï¼æ们è¦æ¾ä¸ä¸ª n 次å¤é¡¹å½æ° gï¼ä½¿å
¶è· f å¨ç¹ x0 å
·æ n é¶çãåè¿ãï¼å³ï¼çæ¡å°±æ¯
ããæ¤å¼å°±å«å f å¨ç¹ x0 ç n é¶ Taylor å±å¼.
ããg å¨ x0 ç¹éè¿è· f å¾é è¿ï¼äºæ¯æä»¬å°±ç¨ g å±é¨å°æ¥å代 f.ä»èç¨ g æ¥æ±å¾ f çä¸äºå±é¨çå®æ§è¡ä¸º.å æ¤ Taylor å±å¼åªæ¯å±é¨çé¼è¿.å½fæ¯è¶³å¤å¥½çä¸ä¸ªå½æ°ï¼å³æ¯æè°è§£æçå½æ°æ¶ï¼å få¯å±æ Taylor 级æ°ï¼èä¸è¿ä¸ª Taylor 级æ°å°±çäº f èªèº«.
ããå¼å¾æ³¨æçæ¯ï¼ä¸é¶ Taylor å±å¼çç¹æ®æ
å½¢ï¼æ¤æ¶ g(x)=f(x0ï¼+f'(x0)(x-x0) çå¾å½¢æ£å¥½æ¯ä¸æ¡éè¿ç¹ (x0,f(x0)) èä¸åäº f çå¾å½¢ä¹ç´çº¿.å æ¤ f å¨ç¹ x0 çä¸é¶ Taylor å±å¼çæä¹å°±æ¯ï¼æ们ç¨è¿ç¹ (x0,f(x0)) çå线å±é¨å°æ¥å代åæ¥ f æ²çº¿.è¿ç§å±é¨åãç¨å¹³ç´å代弯æ²ãçç²¾ç¥ï¼æ¯å¾®åå¦çç²¾ä¹æå¨.
ããå©ç¨ Taylor å±å¼ï¼å¯ä»¥å¸®å¿æ们åå¾å¤äºæ
ï¼æ¯å¦å¤å«å½æ°çæ大å¼ä¸æå°å¼ï¼æ±ç§¯åçè¿ä¼¼å¼ï¼ä½å½æ°è¡¨ï¼å¦ä¸è§å½æ°è¡¨ï¼å¯¹æ°è¡¨ç)ï¼è¿äºé½æ¯ææä¸äº.äºå®ä¸ï¼æ们å¯ä»¥ç¨é¼è¿çæ³æ³å°å¾®ç§¯åãä¸ä»¥è´¯ä¹ã.
ããå¤æ¬¡æ们注æå°ï¼æ们éåå¤é¡¹å½æ°ä½ä¸ºé¼è¿çç®åå½æ°ï¼çç±å¾ç®åï¼å¨ä¼å¤åçå½æ°ä¸ï¼å¦ä¸è§å½æ°ï¼ææ°å½æ°ï¼å¯¹æ°å½æ°ï¼å¤é¡¹å½æ°çï¼ä»ç®æ¯çè§ç¹æ¥çï¼ä»¥å¤é¡¹å½æ°æ为ç®åï¼å 为è¦è®¡ç®å¤é¡¹å½æ°çå¼ï¼åªçµæ¶å°å åä¹é¤ååè¿ç®ï¼å
¶å®å½æ°å°±æ²¡æè¿ä¹ç®å.
ããå½ç¶ï¼ä»å«ç解æè§ç¹æ¥çï¼å¨æäºæ
å½¢ä¸è¿å¦ææ´æç¨æ´éè¦çç®åå½æ°.ä¾å¦ï¼ä¸è§å¤é¡¹å¼ï¼åé
åä¸æç§é¼è¿å°ºåº¦ï¼æ们就å¾å° Fourier 级æ°å±å¼ï¼è¿å¨åºç¨æ°å¦ä¸å æ举足轻éçå°ä½.ï¼äºå®ä¸ï¼Fourier 级æ°å±å¼æ¯éç¨æå°æ¹å·®çé¼è¿å°ºåº¦ï¼è¿å¨é«çæ°å¦ä¸ç»å¸¸åºç°ï¼èä¸å¨ç»è®¡å¦ä¸ä¹æåºç¨.)
ãã注ï¼å x0=0 çç¹ä¾ï¼æ¤æ¶ Taylor å±å¼åå«å Maclaurin å±å¼.ä¸è¿åªè¦ä¼åç¹ä¾çå±å¼ï¼æ¬²æ±ä¸è¬ç Taylor å±å¼ï¼ä½ä¸ä¸å¹³ç§»ï¼æåæ°ä»£æ¢ï¼å°±å¥½äº.å æ¤æ们大å¯ä»å¤´å°±åªå¯¹ x=0 ç¹ä½ Taylor å±å¼.
ããï¼äºï¼ 对äºç¦»æ£çæ
å½¢ï¼Taylor å±å¼å°±æ¯ï¼
ããç»ä¸ä¸ªæ°åï¼æ们è¦æ¾ä¸ä¸ª n 次å¤é¡¹å¼æ°å (gtï¼ï¼ä½¿å¾ gt ä¸ ft å¨ t=0 ç¹å
·æ n é¶çãå·®è¿ã.æè°å¨ 0 ç¹å
·æ n é¶å·®è¿æ¯æï¼
ããçæ¡æ¯ æ¤å¼å°±æ¯ç¦»æ£æ
å½¢ç Maclaurin å
¬å¼.
ããä¹ï¼åé¨ç§¯åå
¬å¼ä¸Abelåé¨ååå
¬å¼çç±»æ¨
ããï¼ä¸ï¼ åé¨ç§¯åå
¬å¼ï¼
ãã设 u(x),v(x) å¨ [a,b] ä¸è¿ç»ï¼å
ããï¼äºï¼ Abelåé¨ååå
¬å¼ï¼
ãã设ï¼un),(vï¼ä¸ºä¸¤ä¸ªæ°åï¼ä»¤ sn=u1+......+unï¼å
ããä¸é¢ä¸¤ä¸ªå
¬å¼åå«æ¯è±å¸å°¼æ
导微å
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ããç±ä¸è¿°æ们çåºç¦»æ£å¤å©é®é¢ç±å·®åæ¹ç¨æ¥æè¿°ï¼èè¿ç»å¤å©çé®é¢ç±å¾®åæ¹ç¨æ¥æè¿°.对äºå¸¸ç³»æ°çº¿æ§çå·®åæ¹ç¨åå¾®åæ¹ç¨ï¼è§£æ¹ç¨å¼çæ´ä¸ªè¦ç¹å°±æ¯å ååçï¼å æ¤æ±è§£çåæ³å
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ããï¼æï¼Fubini éååå®çä¸ Fubini é积åå®çï¼ä¹æ¯ç¦»æ£ä¸è¿ç»ä¹é´çç±»æ¨ï¼
ããï¼ä¸ï¼ Fubini éååå®çï¼ç»ä¸ä¸ªä¸¤éææ çæ°å (arsï¼ï¼æ们è¦ä» r=1 å° m,s=1å° nï¼å¯¹ (ars) ä½åï¼åè¿ä¸ªåå¯ä»¥è¿æ ·æ±å¾ï¼å
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ããï¼äºï¼Fubini é积åå®çï¼è®¾ f(x,y) 为å®ä¹å¨ ä¸ä¹å¯ç§¯åå½æ°ï¼å
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å½¢ï¼ç»ä¸ä¸ªæ°å (anï¼ï¼æ们è¦ä¼°è®¡åï¼Lebesgue çæ³æ³æ¯ï¼ä¸ç®¡è¿å æ°æ®ææ ç顺åºï¼æ们åªææ°å¼ç大å°æ¥åå ï¼ç¸åçåå¨ä¸å ï¼åä»æ¯ä¸å ä¸åä¸ä¸ªæ°å¼ï¼ä¹ä»¥è¯¥å ç个æ°ï¼æ´ä¸ªä½åèµ·æ¥ï¼è¿å°±å¾å°æ»å.
ããï¼äºï¼è¿ç»çæ
å½¢ï¼ç»ä¸ä¸ªå½æ° fï¼æ们è¦å®ä¹æ²çº¿ y=f(x) è· X è½´ä» a å° b æå´åºæ¥çé¢ç§¯.
ããLebesgue çæ³æ³æ¯å¯¹ f çå½±å ä½åå²ï¼
ããå½æ°å¼ä» yi-1 å° yi ä¹é´ç x æ¶éå¨ä¸é½ï¼ä»¤å
¶ä¸ºï¼äºæ¯ [a,b] å°±ç¸åºåå²æï¼åæ ·æ¬ç¹ï¼ä½è¿ä¼¼å
ãã让影åçåå²å ç»ï¼ä¸è¿°è¿ä¼¼åçæéè¥åå¨çè¯ï¼å°±å«å f å¨ [a,b] ä¸ç Lebesgue 积å.
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ããæ³°åå
¬å¼çä½é¡¹f(x)=f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + â¦â¦ + f(n)(a)(x-a)^n/n! + Rn(x) [å
¶ä¸f(nï¼æ¯fçné¶å¯¼æ°]
ããæ³°åä½é¡¹å¯ä»¥åæ以ä¸å ç§ä¸åçå½¢å¼ï¼
ããâ佩äºè¯º(Peanoï¼ä½é¡¹ï¼
ããRn(x) = o((x-a)^n)
ããâæ½åç±³å°å¸-ç½ä»(Schlomilch-Rocheï¼ä½é¡¹ï¼
ããRn(x) = f(n+1ï¼ï¼a+θï¼x-aï¼ï¼ï¼1-θï¼^(n+1-p)(x-a)^(n+1ï¼/(n!p)
ãã[f(n+1ï¼æ¯fçn+1é¶å¯¼æ°ï¼Î¸âï¼0,1ï¼]
ããâææ ¼ææ¥ï¼Lagrangeï¼ä½é¡¹ï¼
ããRn(x) = f(n+1ï¼ï¼a+θï¼x-a))(x-a)^(n+1ï¼/(n+1ï¼ï¼
ãã[f(n+1ï¼æ¯fçn+1é¶å¯¼æ°ï¼Î¸âï¼0,1ï¼]
ããâæ¯è¥¿ï¼Cauchyï¼ä½é¡¹ï¼
ããRn(x) = f(n+1ï¼ï¼a+θï¼x-aï¼ï¼ï¼1-θï¼^n (x-a)^(n+1ï¼/n!
ãã[f(n+1ï¼æ¯fçn+1é¶å¯¼æ°ï¼Î¸âï¼0,1ï¼]
ããâ积åä½é¡¹ï¼
ããRn(x) = [f(n+1ï¼ï¼t)(x-t)^nå¨aå°xä¸ç积å]/n!
ãã[f(n+1ï¼æ¯fçn+1é¶å¯¼æ°]
ç¼è¾æ¬æ®µæ³°åç®ä»ç®ä»
ãã18ä¸çºªæ©æè±å½çé¡¿å¦æ´¾æä¼ç§ä»£è¡¨äººç©ä¹ä¸çè±å½æ°å¦å®¶æ³°åï¼Brook Taylorï¼ï¼ äº1685 å¹´8æ18æ¥å¨è±æ ¼å
°å¾·å°å¡å
æ¯é¡çåå¾·èé¡¿å¸åºçã1701å¹´ï¼æ³°åè¿å桥大å¦çå£çº¦ç¿°å¦é¢å¦ä¹ ã1709å¹´å移å±
伦æ¦ï¼è·å¾æ³å¦å¦å£«å¦ä½ã1712å¹´å½é为è±å½ç家å¦ä¼ä¼åï¼åå¹´è¿å
¥ä¿è£çé¡¿åè±å¸å°¼å
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æäºè®ºçå§åä¼ã并äºä¸¤å¹´åè·æ³å¦å士å¦ä½ãä»1714å¹´èµ·æ
ä»»ç家å¦ä¼ç¬¬ä¸ç§ä¹¦ï¼1718年以å¥åº·ä¸ºç±è¾å»è¿ä¸èå¡ã1717å¹´ï¼ä»ä»¥æ³°åå®çæ±è§£äºæ°å¼æ¹ç¨ãæåå¨1731å¹´1 2æ29æ¥äºä¼¦æ¦éä¸ã
ããç±äºå·¥ä½åå¥åº·ä¸çåå ï¼æ³°åæ¾å 次访é®æ³å½å¹¶åæ³å½æ°å¦å®¶èè«å°å¤æ¬¡é信讨论级æ°é®é¢åæ¦ç论çé®é¢ã1708å¹´ï¼23å²çæ³°åå¾å°äºâæ¯å¨ä¸å¿é®é¢âç解ï¼å¼èµ·äºäººä»¬ç注æï¼å¨è¿ä¸ªå·¥ä½ä¸ä»ç¨äºçé¡¿çç¬çè®°å·ãä»1714å¹´å°1719å¹´ï¼æ¯æ³°åå¨æ°å¦ç顿产çæ¶æã
主è¦èä½
ããä»ç两æ¬èä½ï¼ãæ£ååçå¢éæ³ãåãç´çº¿éè§ãé½åºçäº1715å¹´ï¼å®ä»¬ç第äºçåå«åºäº1717å1719å¹´ãä»1712å°1724å¹´ï¼ä»å¨ãå²å¦ä¼æ¥ãä¸å
±å表äº13ç¯æç« ï¼å
¶ä¸æäºæ¯éä¿¡åè¯è®ºãæç« ä¸è¿å
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ããå¨çå½çåæï¼æ³°å转åå®æåå²å¦çåä½ï¼ä»ç第ä¸æ¬èä½ãå²å¦çæ²æãå¨ä»æ»åç±å¤åW.æ¨äº1793å¹´åºçã
ããæ³°å以微积åå¦ä¸å°å½æ°å±å¼ææ 穷级æ°çå®çè称äºä¸ãè¿æ¡å®ç大è´å¯ä»¥å述为ï¼å½æ°å¨ä¸ä¸ªç¹çé»åå
çå¼å¯ä»¥ç¨å½æ°å¨è¯¥ç¹çå¼ååé¶å¯¼æ°å¼ç»æçæ 穷级æ°è¡¨ç¤ºåºæ¥ãç¶èï¼å¨å个ä¸çºªéï¼æ°å¦å®¶ä»¬å¹¶æ²¡æ认è¯å°æ³°åå®ççé大价å¼ãè¿ä¸é大价å¼æ¯åæ¥ç±ææ ¼ææ¥åç°çï¼ä»æè¿ä¸å®çå»ç»ä¸ºå¾®ç§¯åçåºæ¬å®çãæ³°åå®ççä¸¥æ ¼è¯ææ¯å¨å®çè¯çä¸ä¸ªä¸çºªä¹åï¼ç±æ¯è¥¿ç»åºçã
ããæ³°åå®çå¼åäºæéå·®åç论ï¼ä½¿ä»»ä½ååéå½æ°é½å¯å±æå¹çº§æ°ï¼åæ¶äº¦ä½¿æ³°åæäºæéå·®åç论çå¥ åºè
ãæ³°åäºä¹¦ä¸è¿è®¨è®ºäºå¾®ç§¯å对ä¸ç³»åç©ç é®é¢ä¹åºç¨ï¼å
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