关于概率论中分布函数求概率密度的问题

Question

答案中是怎么求的

Answer 1

注意Φ(x)表示标准正态分布的分布函数，φ(x)表示标准正态分布的概率密度函数
且Φ‘(x)=φ(x), φ'(x)=-xφ(x)
于是题目中令2√y/a=t, dt/dy=1/(a√y)
则有F(y)=2Φ(t)-2tφ(t)-1，
利用复合函数求导可得
dF(y)/dx=(dF/dt)*(dt/dy)
=[2φ(t)-2φ(t)-2tφ'(t)][1/(a√y)]
=[2t²φ(t)][1/(a√y)]
=(8√y/a)φ[2√y/a]
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！追问

为什么书上答案算的是dF(y)/dx=(8√y/a^3)φ[2√y/a]

追答

哈哈，对不起啊，把t代入的时候少了个1/a²
应该是
[2t²φ(t)][1/(a√y)]
=(8√y/a³)φ[2√y/a]

Answer 2

把上式中标准正态分布和标准正态概率密度，用完整的形式表示，即把2/a *√y代入，合并后再求导，没有捷径。