设(G，*)是14阶可交换群，证明：

Question

如题所述

Answer 1

【答案】：[证明]由拉格朗日定理的推论可知，14阶群(G，*)中非幺元的阶数只可能是2、7和14。
首先证明14阶群(G，*)中的非幺元不可能都是2阶元素。用反证法，如果(G，*)中的非幺元的阶数都是2。若令A={e，a，b，a*b)，则(A，*)是(G，*)的4阶子群，但(G，*)是14阶群，不可能有4阶子群，所以14阶群(G，*)中非幺元的阶数不可能都是2。即14阶群(G，*)中必有7阶或14阶元素。
如果(G，*)中有7阶元素，本题得证。
如果(G，*)中有14阶元素a，则令b=a²，易知b为7阶元素。由此证得14阶群必有7阶元素。$由于(G，*)是可交换群，所以
(a*b)¹⁴=a¹⁴*b¹⁴=(a²)⁷*(b⁷)²=e现再证明14是满足上述等式的最小正整数。用反证法，设p是小于14的正整数，且(a*b)^p=e；显然，p应能整除14，所以p应为1或2或7。
如果p=1，于是有a*b=e，这表明a和b是互逆元素，a和b是同阶元素，这和题设矛盾。
如果p=2，则
(a*b)²=a²*b²=e*b²=b²≠e这和假设矛盾。
如果p=7，则
(a*b)⁷=a⁷*b⁷=a*a^b*b⁷=a≠e这和假设矛盾。
由此证得a*b为14阶元素。$由于偶数阶群必有2阶元素a，又由本题(1)的证明结果可知，(G，*)中必有7阶元素b；再由本题(2)的证明结果可知，a*b为14阶元素，所以a*b是(G，*)的生成元，(G，*)是循环群。由此证得14阶可交换群必是循环群。