七年级抽屉原理的高难度奥数题

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你当你是谁呢,越难越好?!哼,你个小垃圾!
看看“难题”
1.木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个,若蒙眼去摸,为保证取出的球中有两个球的颜色不相同,则最少要取出多少个球?
  解:把3种颜色看作3个抽屉,要符合题意,则小球的数目必须大于7,故至少取出8个小球才能符合要求。
  2.一幅扑克牌有54张,最少要抽取几张牌,方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?
  解:点数为1(A)、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11(J)、12(Q)、13(K)的牌各取1张,再取大王、小王各1张,一共15张,这15张牌中,没有两张的点数相同。这样,如果任意再取1张的话,它的点数必为1~13中的一个,于是有2张点数相同。
  3.11名学生到老师家借书,老师是书房中有A、B、C、D四类书,每名学生最多可借两本不同类的书,最少借一本。试证明:必有两个学生所借的书的类型相同。
  证明:若学生只借一本书,则不同的类型有A、B、C、D四种,若学生借两本不同类型的书,则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。共有10种类型,把这10种类型看作10个“抽屉”,把11个学生看作11个“苹果”。如果谁借哪种类型的书,就进入哪个抽屉,由抽屉原理,至少有两个学生,他们所借的书的类型相同。
  4.有50名运动员进行某个项目的单循环赛,如果没有平局,也没有全胜,试证明:一定有两个运动员积分相同。
  证明:设每胜一局得一分,由于没有平局,也没有全胜,则得分情况只有1、2、3……49,只有49种可能,以这49种可能得分的情况为49个抽屉,现有50名运动员得分,则一定有两名运动员得分相同。
  5.体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球,某班50名同学来仓库拿球,规定每个人至少拿1个球,至多拿2个球,问至少有几名同学所拿的球种类是一致的?
  解:根据规定,多有同学拿球的配组方式共有以下9种:﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。以这9种配组方式制造9个抽屉,将这50个同学看作苹果50÷9 =5……5
  由抽屉原理2:k=[m/n ]+1可得,至少有6人,他们所拿的球类是完全一致的。
  6.某校有55个同学参加数学竞赛,已知将参赛人任意分成四组,则必有一组的女生多于2人,又知参赛者中任何10人中必有男生,则参赛男生的人数为__________人。
  解:因为任意分成四组,必有一组的女生多于2人,所以女生至少有4×2+1=9(人);因为任意10人中必有男生,所以女生人数至多有9人。所以女生有9人,男生有55-9=46(人)
系列之二
  7、 证明:从1,3,5,……,99中任选26个数,其中必有两个数的和是100。
  解析:将这50个奇数按照和为100,放进25个抽屉:(1,99),(3,97),(5,95),……,(49 ,51)。根据抽屉原理,从中选出26个数,则必定有两个数来自同一个抽屉,那么这两个数的和即为100。
  8。 某旅游车上有47名乘客,每位乘客都只带有一种水果。如果乘客中有人带梨,并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果,那么乘客中有______人带苹果。
  解析:由题意,不带苹果的乘客不多于一名,但又确实有不带苹果的乘客,所以不带苹果的乘客恰有一名,所以带苹果的就有46人。
  9。 一些苹果和梨混放在一个筐里,小明把这筐水果分成了若干堆,后来发现无论怎么分,总能从这若干堆里找到两堆,把这两堆水果合并在一起后,苹果和梨的个数是偶数,那么小明至少把这些水果分成了_______堆。
  解析:要求把其中两堆合并在一起后,苹果和梨的个数一定是偶数,那么这两堆水果中,苹果和梨的奇偶性必须相同。对于每一堆苹果和梨,奇偶可能性有4种:(奇,奇),(奇,偶),(偶,奇),(偶,偶),所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。
  10。 有黑色、白色、蓝色手套各5只(不分左右手),至少要拿出_____只(拿的时候不许看颜色),才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
  解析:考虑最坏情况,假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色,则只有一双同颜色的,但是再多拿一只,不论什么颜色,则一定会有两双同颜色的,所以至少要拿6只。
  11。从前25个自然数中任意取出7个数,证明:取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍。
  证明:把前25个自然数分成下面6组:
  1; ①
  2,3; ②
  4,5,6; ③
  7,8,9,10; ④
  11,12,13,14,15,16; ⑤
  17,18,19,20,21,22,23, ⑥
  因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍。
  12.一副扑克牌有四种花色,每种花色各有13张,现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌,才能保证有4张牌是同一种花色的?
  解析:根据抽屉原理,当每次取出4张牌时,则至少可以保障每种花色一样一张,按此类推,当取出12张牌时,则至少可以保障每种花色一样三张,所以当抽取第13张牌时,无论是什么花色,都可以至少保障有4张牌是同一种花色。
  13.从1、2、3、4……、12这12个自然数中,至少任选几个,就可以保证其中一定包括两个数,他们的差是7?
  【解析】在这12个自然数中,差是7的自然树有以下5对:{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}。另外,还有2个在该范围取不到差值为7的配对的数是{6}、{7}。根据抽屉原理,共构造了7个抽屉。只要有两个数是取自同一个抽屉,那么它们的差就等于7。这7个抽屉可以表示为{12,5}{11,4}{10,3}{9,2}{8,1}{6}{7},显然从7个抽屉中取8个数,则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉,也即作差为7。
系列之三
  1.某幼儿班有40名小朋友,现有各种玩具122件,把这些玩具全部分给小朋友,是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具?
  分析与解:将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件,122=3×40+2。应用抽屉原理2,取n=40,m=3,立即知道:至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说,至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
  2.一个布袋中有40块相同的木块,其中编上号码1,2,3,4的各有10块。问:一次至少要取出多少木块,才能保证其中至少有3块号码相同的木块?
  分析与解:将1,2,3,4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品,根据抽屉原理2,至少要有4×2+1=9(件)物品。所以一次至少要取出9块木块,才能保证其中有3块号码相同的木块。
  3.六年级有100名学生,他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问:至少有多少名学生订阅的杂志种类相同?
  分析与解:首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。
  订一种杂志有:订甲、订乙、订丙3种情况;
  订二种杂志有:订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况;
  订三种杂志有:订甲乙丙1种情况。
  总共有3+3+1=7(种)订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”,把100名学生看作100件物品。因为100=14×7+2。根据抽屉原理2,至少有14+1=15(人)所订阅的报刊种类是相同的。
  4.篮子里有苹果、梨、桃和桔子,现有81个小朋友,如果每个小朋友都从中任意拿两个水果,那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的?
  分析与解:首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种,两个水果不同有6种:苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4+6=10(种)。将这10种搭配作为10个“抽屉”。
  81÷10=8……1(个)。
  根据抽屉原理2,至少有8+1=9(个)小朋友拿的水果相同。
  5.学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班,每个学生最多可以参加两个(可以不参加)。问:至少有多少名学生,才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同?
  分析与解:首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班有1种情况,只参加一个学习班有3种情况,参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1+3+3=7(种)情况。将这7种情况作为7个“抽屉”,根据抽屉原理2,要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同,要有学生 7×(5-1)+1=29(名)。
  6. 在1,4,7,10,…,100中任选20个数,其中至少有不同的两对数,其和等于104。
  分析:解这道题,可以考虑先将4与100,7与97,49与55……,这些和等于104的两个数组成一组,构成16个抽屉,剩下1和52再构成2个抽屉,这样,即使20个数中取到了1和52,剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉,从而有不同的两组数,其和等于104;如果取不到1和52,或1和52不全取到,那么和等于104的数组将多于两组。
  解:1,4,7,10,……,100中共有34个数,将其分成{4,100},{7,97},……,{49,55},{1},{52}共18个抽屉,从这18个抽屉中任取20个数,若取到1和52,则剩下的18个数取自前16个抽屉,至少有4个数取自某两个抽屉中,结论成立;若不全取1和52,则有多于18个数取自前16个抽屉,结论亦成立。
系列之四
  1. 任意5个自然数中,必可找出3个数,使这三个数的和能被3整除。
  分析:解这个问题,注意到一个数被3除的余数只有0,1,2三个,可以用余数来构造抽屉。
  解:以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉,共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中,若每个抽屉内均有数,则各抽屉取一个数,这三个数的和是3的倍数,结论成立;若至少有一个抽屉内没有数,那么5个数中必有三个数在同一抽屉内,这三个数的和是3的倍数,结论亦成立。
  2. 在边长为1的正方形内,任意放入9个点,证明在以这些点为顶点的三角形中,必有一个三角形的面积不超过1/8.
  解:分别连结正方形两组对边的中点,将正方形分为四个全等的小正方形,则各个小正方形的面积均为1/4 。把这四个小正方形看作4个抽屉,将9个点随意放入4个抽屉中,据抽屉原理,至少有一个小正方形中有3个点。显然,以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8 。
  反思:将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4 的小正方形,从而构造出4个抽屉,是解决本题的关键。我们知道。将正方形分成面积均为1/4 的图形的方法不只一种,如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形,这4个图形的面积也都是1/4 ,但这样构造抽屉不能证到结论。可见,如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。
  3. 班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
  解:把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果 ,根据原理1,书的数目要比学生的人数多,即书至少需要50+1=51本.
  4. 在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米。
  解:把这条小路分成每段1米长,共100段,每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果 ,于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果 ,即至少有一段有两棵或两棵以上的树 .
  你也来试试?
  1.饲养员给10只猴子分苹果,其中至少要有一只猴子得到7个苹果,饲养员至少要拿来多少个苹果?
  2.从13个自然数中,一定可以找到两个数,它们的差是12的倍数。
  3.一个班有40名同学,现在有课外书125本。把这些书分给同学,是否有人会得到4本或4本以上课外书?
  4.42只鸽子飞进5个笼子里,可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子?
http://wenku.baidu.com/view/cfef1a8f6529647d272852ef.html
真难题:
设把n+1个元素划分至n个集合中(A1,A2,…,An),用a1,a2,…,an分别表示这n个集合对应包含的元素个数,则:至少存在某个集合Ai,其包含元素个数值ai大于或等于2。
  证明:(反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai<2,则因为ai是整数,应有ai≤1,于是有:
  a1+a2+…+an≤1+1+…+1=n<n+1,这与题设矛盾。
  所以,至少有一个ai≥2,即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。
  形式二:设把nm+1个元素划分至n个集合中(A1,A2,…,An),用a1,a2,…,an表示这n个集合对应包含的元素个数,则:至少存在某个集合Ai,其包含元素个数值ai大于或等于m+1。
  证明:(反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai<m+1,则因为ai是整数,应有ai≤m,于是有:
  a1+a2+…+an≤m+m+…+m=nm<nm+1,这与题设相矛盾。
  所以,至少有存在一个ai≥m+1
  知识扩展——高斯函数[x]定义:对任意的实数x,[x]表示“不大于x的最大整数”。例如:[3.5]=3,[2.9]=2,[-2.5]=-3,[7]=7,……一般地,我们有:[x]≤x<[x]+1
  形式三:设把n个元素分为k个集合A1,A2,…,Ak,用a1,a2,…,ak表示这k个集合里相应的元素个数,需要证明至少存在某个ai大于或等于[n/k]。
  证明:(用反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai<[n/k],于是有:
  a1+a2+…+ak<[n/k]+[n/k]+…+[n/k] =k?[n/k]≤k?(n/k)=n
  k个[n/k] ∴ a1+a2+…+ak<n 这与题设相矛盾。所以,必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k]
  形式四:设把q1+q2+…+qn-n+1个元素分为n个集合A1,A2,…,An,用a1,a2,…,an表示这n个集合里相应的元素个数,需要证明至少存在某个i,使得ai大于或等于qi。
  证明:(用反证法)假设结论不成立,即对每一个ai都有ai<qi,因为ai为整数,应有ai≤qi-1,
  于是有:a1+a2+…+an≤q1+q2+…+qn-n <q1+q2+…+qn-n+1这与题设矛盾。
  所以,假设不成立,故必有一个i,在第i个集合中元素个数ai≥qi
  形式五:证明:(用反证法)将无穷多个元素分为有限个集合,假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个,则有限个有限数相加,所得的数必是有限数,这就与题设产生矛盾,所以,假设不成立,故必有一个集合含有无穷多个元素。
你会吗?
O(∩_∩)O哈哈~
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第1个回答  2012-07-04
楼上在哪搞的
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