一共有哪些完美数？

Question

如题所述

Answer 1

完全数，也称作完美数或完备数，是数学中的一个特殊概念。这些数字的特殊之处在于它们恰好等于除了自身以外的所有真因子之和。在数学史上，最早研究完全数的是公元前6世纪的哲学家毕达哥拉斯，他发现了6和28这两个完全数。
1. 第一个完全数是6，它的真因子有1、2和3，其和为6。
2. 第二个完全数是28，它的真因子有1、2、4、7和14，其和同样为28。
3. 第三个完全数是496，它有多个真因子，包括1、2、4、8、16、31、62和124，它们的和等于496。
4. 后续的完全数还包括8128和33550336等。
完全数具有一些独特的性质：
- 它们都是三角形数，即可以表示为连续自然数的和的数。
- 除了6以外的完全数的倒数都是调和数。
- 它们可以表示为连续奇数立方的和。
- 完全数可以表示为2的某些连续正整数次幂之和，而且这样的数量是连续的质数。
- 这些数总是以6或8结尾。如果以8结尾，它们通常以28结尾。
- 完全数的各位数字相加后，最终的结果总是1。
- 完全数除以3余1，除以9余1，而且1/2除以27余1。
关于完全数的寻找，自从完全数的概念被提出以来，一直吸引着数学家和业余爱好者去探索。尽管现代电子计算机的出现使得寻找完全数变得更加容易，但关于是否存在奇完全数的问题仍然是一个未解之谜。目前为止，所有的完全数都是偶数，而奇完全数的存在尚未得到证实。已知的一个结论是，如果奇完全数存在，它们的形式必然是12^p+1或36^p+9的形式，其中p是素数。
截至2013年2月6日，数学家们已经找到了48个完全数，但关于完全数的总数和它们的确切性质，仍有许多未知之数。