第1个回答 2012-09-21
、Merzirac法生成奇阶幻方
在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下图用Merziral法生成的5阶幻方：
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。
其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。
对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。 【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等等等】
二、loubere法生成奇阶幻方
在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有数字，则向上移两格继续填写。如下图用Louberel法生成的5阶幻方：
23 6 19 2 15
10 18 1 14 22
17 5 13 21 9
4 12 25 8 16
11 24 7 20 3
上述loubere法可以记作X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），2Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向上移二格继续填写）。对于X+Y斜步相应的跳步可以为2X，2Y。 【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相同方向即可。】
2Y跳步，则在居中的方格向上一格放1里，按上斜步，2Y跳步的方法构成幻方。
-2Y跳步，则在居中的方格向下一格放1里，按下斜步，-2Y跳步的方法构成幻方。
2X跳步，则在居中的方格向右一格放1里，按右斜步，2X跳步的方法构成幻方。
-2X跳步，则在居中的方格向左一格放1里，按左斜步，-2X跳步的方法构成幻方。
三、horse法生成奇阶幻方
对于所有的奇阶幻方，在第一行居中的方格内放1，向左走1步，下走2步以跳马步，依次填入2、3、4…，若出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格；若出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格；如果落步格已有数字， 则向下移一格继续填写。如下图用Horse法生成的5阶幻方：
23 12 1 20 9
4 18 7 21 15
10 24 13 2 16
11 5 19 8 22
17 6 25 14 3
n阶奇阶幻方，若n为不是3的倍数，那么在任意一格内放1，向左走1步，下走2步以跳马步，依次填入2、3、4…，若出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格；若出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格；如果落步格已有数字， 则向上移一格继续填写。如下图用Horse法生成的5阶幻方：
1 14 22 10 18
25 8 16 4 12
19 2 15 23 6
13 21 9 17 5
7 20 3 11 24
【偶阶幻方】
偶阶幻方分为双偶幻方和单偶幻方。一个n阶幻方，当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方；当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方，如8阶、12阶、16阶等；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方，如6阶、10阶、14阶等。
一、双偶幻方的解法
能被4整除的n阶幻方叫双偶幻方，如8阶、12阶、16阶等，双偶幻方用Spring法、Strachey法生成。
1、Spring法生成双偶幻方：
方法就是两句话：顺序填数，以中心点对称互换数字。
将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。
第一步，先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到可分别填写1、2、3、……、n；即第二行从左到可分别填写n+1、n+2、n+3、……、2n；…………n^2【n的平方】。
简单地说，就是1放在幻方的任意一个角格，然后按同一个方向按顺序依次填写其余数。
以8阶幻方为例，顺序填数。如下所示：
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
等等等等，共有8种方法。（以下我只以一种为例讲解。其余方法相同）
第二步，进行对称交换。
对称交换的方法有两种：
方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）
64 2 62 4 5 59 7 57
9 55 11 53 52 14 50 16
48 18 46 20 21 43 23 41
25 39 27 37 36 30 34 32
33 31 35 29 28 38 26 40
24 42 22 44 45 19 47 17
49 15 51 13 12 54 10 56
8 58 6 60 61 3 63 1
或，
1 63 3 61 60 6 58 8
56 10 54 12 13 51 15 49
17 47 19 45 44 22 42 24
40 26 38 28 29 35 31 33
32 34 30 36 37 27 39 25
41 23 43 21 20 46 18 48
16 50 14 52 53 11 55 9
57 7 59 5 4 62 2 64
完成幻方，幻和值260。
方法二；将幻方等分成m*m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上（或非对角线上）的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。
下图为将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换，完成幻方，幻和值260。
64 2 3 61 60 6 7 57
9 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
8 58 59 5 4 62 63 1
下图为将各4阶幻方中非对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换，完成幻方，幻和值260。
1 63 62 4 5 59 58 8
56 10 11 53 52 14 15 49
48 18 19 45 44 22 23 41
25 39 38 28 29 35 34 32
33 31 30 36 37 27 26 40
24 42 43 21 20 46 47 17
16 50 51 13 12 54 55 9
57 7 6 60 61 3 2 64
2、Strachey法生成双偶幻方
第一步，将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m阶偶数幻方。
A C
D B
A用1至(2m)^2填写成2m阶幻方；B用(2m)^2+1至2*(2m)^2填写成2m阶幻方；C用2*(2m)^2+1至3*(2m)^2填写成2m阶幻方；D用3*(2m^)2+1至4*(2m)^2填写成2m阶幻方；
将8阶双偶幻方表示为4×2阶幻方。将其等分为四个2×2阶偶数幻方，即4阶偶数幻方。
16 2 3 13 48 34 35 45
5 11 10 8 37 43 42 40
9 7 6 12 41 39 38 44
4 14 15 1 36 46 47 33
64 50 51 61 32 18 19 29
53 59 58 56 21 27 26 24
57 55 54 60 25 23 22 28
52 62 63 49 20 30 31 17
第三步，在A每行取m个小格（一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），将其与D相应方格内交换；B与C以相同方法进行。
对于8阶幻方，A每行取2个小格（一侧对角线格为必换格，其余1格只要不是另一侧对角线格即可），要与D相应方格内交换；C与B以相同方法进行。
最简单的方法就是：A任意2列，与D相对应的2列互换，C任意2列，与B相对应的2列互换即可。
64 50 3 13 48 34 19 29
53 59 10 8 37 43 26 24
57 55 6 12 41 39 22 28
52 62 15 1 36 46 31 17
16 2 51 61 32 18 35 45
5 11 58 56 21 27 42 40
9 7 54 60 25 23 38 44
4 14 63 49 20 30 47 33
或
64 50 3 13 32 18 35 45
53 59 10 8 21 27 42 40
57 55 6 12 25 23 38 44
52 62 15 1 20 30 47 33
16 2 51 61 48 34 19 29
5 11 58 56 37 43 26 24
9 7 54 60 41 39 22 28
4 14 63 49 36 46 31 17
等等完成幻方，幻和值260。
二、单偶幻方的解法
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。
A C
D B
A用1至2m+1填写成(2m+1)2阶幻方；B用(2m+1)2+1至2*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；C用2*(2m+1)2+1至3*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；D用3*(2m+1)2+1至4*(2m+1)2填写成2m+1阶幻方；
【注：(2m+1)2是(2m+1)的平方，以下同】
8 1 6 26 19 24
3 5 7 21 23 25
4 9 2 22 27 20
35 28 33 17 10 15
30 32 34 12 14 16
31 36 29 13 18 11
在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），也就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格，其他行左侧边缘取m个小格，将其与D相应方格内交换；B与C任取m-1列相互交换。
6阶幻方就是4*1+2，那么m就是1。在A中间一行取中心格1个小格，其他行左侧边缘取1个小格，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换（6阶幻方m-1=0，则不用互换）。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
每一行，每一列，对角线的和值（称为幻和值）为111。
一个n阶幻方幻和值公式为：
Nn=1/2xn(n2+1)
【注：n2是n的平方】