高中数学必修5 已知a大于0，b大于0，且a+b+c=1。求证1/a+1/b+1/c大于等于9

Question

如题所述

Answer 1

解：∵b/a+a/b≥2（√b/a×√a/b）=2×1=2
c/a+a/c≥2（√c/a×√a/c）=2×1=2
c/b+b/c≥2（√c/b×√b/c）=2×1=2
∴1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+b/a+c/a+a/b+c/b+1+a/c+b/c+1
=3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)
≥3+2+2+2
=9

Answer 2

（a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
利用基本不等式b/a+a/b≧2(√b/a×a/b)＝2同理的
b/c+c/b≧2(√b/c×c/b)＝2
c/a+a/c≧2(√c/a×a/c)＝2
∴1/a+1/b+1/c≧9

Answer 3

:因为a+b+c=1,所以1/a+1/b+1/c=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c=3+(b/a+a/b)+(c/a+a/c)+(c/b+b/c)>=3+2+2+2=9(当a=b=c时取等号）

Answer 4

问题有误，c也必须大于零，可有较多方法解答。glk7271的解答比较好，是高考所承认的解法但不具有一般性。
一般而言，这类问题都可以用柯西不等式，但高考不承认，但该不等式对想优等生来说必不可少，建议你去查资料，其证明也非常简单，建议记住。