如图，已知矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿BA边从点B开始向终点A以2cm/s的速度移动.

Question

如图，已知矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿BA边从点B开始向终点A以2cm/s的速度移动.点Q从点D开始沿DC边向终点C以2cm/s的速度移动，设PQ与AC的交点O，如果P、Q两点同时出发，移动的时间为xs（0＜x＜6）.当x为何值时，△OAP与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）只要把QA、AP用含t的代数式表示，利用QA＝AP求解；（2）可以分别求出△QAC和△APC的面积；（3）同例4一样，要分两种情况求解．
解：（1）对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t．
当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形．
即6－t＝2t．
解得t＝2（秒）．
所以当t＝2秒时，△QAP为等腰直角三角形．
（2）在△QAC中，QA＝6－t，QA边上的高DC＝12，
∴S△QAC＝ QA•DC＝ （6－t）•12＝36－6t．
∵在△APC中，AP＝2t，BC＝6，
∴S△APC＝ AP•BC＝ •2t•6＝6t．
∴S四边形QAPC＝S△QAC＋S△APC＝36－6t＋6t＝36（cm 2）．
由计算结果发现：在P、Q两点的移动过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可以提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）
（3）根据题意，可分为两种情况来求解：
当 时，△QAP∽△ABC．
∴ ．
解得t＝1.2（s）．
∴当t＝1.2 s时，△QAP∽△ABC．
当 时，△PAQ∽△ABC．
∴ ．
解得t＝3（秒）．
∴当t＝3 s时，△PAQ∽△ABC．

Answer 2

因为P,Q点移动速度相同，方向相反，所以O点一定在AC的中点位置，那么△OAP与△ABC相似有两种情况：
1、角APQ为直角时，这时P,Q分别移动到AB,DC的中点，即走了6cm,此时x=6/2=3s
2、角AOP为直角时，这时，根据直角三角形中三边关系公式计算AC的平方=AB的平方+BC的平方=144+36=180，所以AC=6倍的根下5，AO=二分之AC=3倍根下5，因为△OAP与△ABC相似，所以AO:AB=OP:BC即（3倍根下5）:12=OP:6，计算得OP=（3倍根下5）/2，再根据直角三角形三边关系，计算AP的平方=AO的平方+OP的平方=(225/4)cm那么AP=（15/2）cm,BP=12-(15/2)=(9/2)cm=P，Q点移动的距离，那么x=(9/2)除以2=9/4=2.25s