数学分析 二重积分 求大神指点

Question

划横线的地方看不懂。

Answer 1

1、第一条黄线就是，左边先把平方写成两个积分相乘，然后将其中一个积分变量换了个字母而己（定积分的积分变量可以随便换字母）；
2、第二条黄线就是将一个累次积分化成二重积分，如果你看不懂，就反过来，把矩形区域上的二重积分化成累次积分就行了；
3、第二条黄线到第一条蓝线，这是平均值不等式（中学知识）；
4、第一条蓝线到第二条蓝线，这里用的是轮换对称性。下面我解释一下，
我们注意到这个积分区域是一个正方形， 如果将区域中的x与y互换，会发现这个区域没有变化，这说明在这个区域中，x与y的地位完全平等，因此有：

∫∫ [f(x)]^2 dxdy = ∫∫ [f(y)]^2 dxdy = (1/2)[它们两个之和]追问

我觉得第二条黄线不是将一个累次积分化成二重积分，因为第一条黄线是两个积分的乘积，不是累次积分。

追答

两个定积分的乘积可以看做是累次积分的，
累次积分中如果x与y可以彻底分离，且积分区域是矩形的话，也可以看作是定积分的乘积，这个没有本质区别。