数学问题

Question

如图，已知三角形ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，BE和CF。
（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明。
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由。
（3）若AB=6，BD=2DC，求四边形ABEF的面积。

Answer 1

1) CD=DE 三角形ABC是等边三角形
则 三角形CDE是等边三角形
角CED=角CDE=60º DE∥AB
EF=AF 所以 角AFE=角AEF
角AEF=角DEC=60º
则 三角形AEF是等边三角形
角FAE=60º
AF∥BD
因此： ABDF是平行四边形
BF是对角线
BD=AF AB=DF 角BAF=角BDF
三角形ABF≌三角形BDF

2) 由1）得 四边形ABDF是平行四边形
理由同上

3）作AM⊥BC交BC于M 因为三角形ABC是等边三角形
则 BM=3 又 AB=6
AM²=6²-3²=27 AM=3根号3
BD=2DC
BD+DC=6
2DC+DC=6 DC=2 BD=4
过E作EN⊥取BC 交BC于N
EN是等边三角形CDE的高
EN²=DE²-DN² =2²-1²=3
EN=根号3
四边形ABEF的面积 = 四边形ABDF的面积-三角形BDE的面积
=BD*AM-BD*EN=4*3*根号3-2*根号3=10根号3

Answer 2

作等边三角形的高，则高在30.60.90度的直角三角形中，高=3根号3。则△ABC的面积就知道了。
BD/DC=2/1， 所以后AE/EC=2/1。则△ABE/△BEC=2/1（AC上的高相等），所以△ABE也就知道了。
△DEC中有二条边相等，一只角是60度，则△DEC是等边三角形，所以角DEC=60。
所以
角AEF=60，因为AE=EF 。所以△AEF为等边△.面积算法同上面一样。本回答被网友采纳

Answer 3

作等边三角形的高，则高在30.60.90度的直角三角形中，高=3根号3。则△ABC的面积就知道了。
BD/DC=2/1， 所以后AE/EC=2/1。则△ABE/△BEC=2/1（AC上的高相等），所以△ABE也就知道了。
△DEC中有二条边相等，一只角是60度，则△DEC是等边三角形，所以角DEC=60。
所以
角AEF=60，因为AE=EF 。所以△AEF为等边△.面积算法同上面一样。
∵S△ABC=9根号3， ∴S△ABE=6根号3。
∵△AEF等边△， ∴S△AEF=4根号3。
四边形ABEF=10根号3。

Answer 4

1）三角形ABD≌三角形ACD≌三角形AFD
（2）四边形ABDF是平行四边形
因为CD=CE，
所以DE//AB
BD=AE=EF
即得证
（3）作三角形ABC，AB底边上的高CG交DE于H
由AB=6，BD=2DC得
CD=2，即CH=根号3
CG=根号5
即有GH=根号3-根号5
所以四边形ABEF的面积=6*（根号3-根号5）

Answer 5