机械能守恒问题

Question

如图2-8-20所示，光滑圆柱O被固定在水平平台上，质量为m的小球用轻绳跨过柱体与质量为M(M>m)的小球相连，开始时，m与平台接触，两边绳伸直，然后两球从静止开始运动，M下降，m上升，当上升到圆柱的最高点时，绳子突然断了，发现m恰好做平抛运动，则M是m的多少倍？
急啊急啊~~~~~~~~

Answer 1

愚见：按照题意，刚好做平抛运动即为沿着圆柱外圆轨迹运动，即在过圆心与水平桌面的平行线之前的轨迹可以认为是做圆周运动，当绳子断裂后，m的重力提供其向心力。
此时并没有M的代数出现，因此根据机械能守恒，M的势能转化为m的动能和势能及M的动能。但是因为有绳子连接，故m和M的速度是一样的，当绳子断裂时，这个转换就将停止，其M下降的高度就是m上升的高度，也就是圆柱的直径。
所以根据机械能守恒得出一个速度，公式为F=(mv^2)r，变形后可以得到关于V平方的代数式，带入到机械能守恒方程里面即Mgh=1/2mv^2+mgh+1/2Mv^2，经过计算之后可以得到关于M和m的关系
我的计算结果是M：m=5:3，最后圆柱直径D和重力加速度g都可通过消元消去。

Answer 2

这道题的关键是M的重力势能到底减小了多少，m实际运动的距离应为(r+2πr/4)
将m、M作为整体，则由机械能守恒得： Mg(r+πr/2)-mg2r=1/2(M+m)v² ①
再结合m刚好做平抛，将一瞬间的平抛看做圆周运动，则向心力由重力提供，所以得
mg=mv²/r ②
解①②可得 M=5m/（π+1）
希望对你有所帮助追问

Mg(r+πr/2)-mg2r=1/2(M+m)v² 这个怎么来的 这里不太懂
初始状态m的 重力势能是多少

追答

这样吧，这里不用机械能守恒来理解，因为初始时m、M不在同一水平面。
建议你用动能定理来理解，Mg(r+πr/2)这是Mg做的功，-mg2r这是mg做的功，二者和为动量的变化量。关键是理解(r+πr/2) 不懂再问

追问

那还有拉力做的功啊 那r+πr/2这个怎么理解

追答

将两个球看作一个系统后，拉力是内力，动能定理只考虑外力做功。
你注意看m球，它先是竖直上r，然后是贴着圆柱表面运动1/4圆周，这对m的重力做功没有影响，但是M下降的距离就不同了。好好看看理解一下

追问

最后一个问题 Mg(r+πr/2)-mg2r=1/2(M+m)v² 能用机械能守恒解释一下么 麻烦你了。

追答

把mg2r移过去吧，Mg(r+πr/2)=1/2(M+m)v²+mg2r
物理意义是，M球重力势能的减少量等于m球重力势能的增加量和二者的动能增加量，总的机械能守恒。
没事，你理解就好

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Answer 3

你的问题没有图啊追问