用换元法证明2005/2006，2006/2007，2007/2008，三个分数的大小

Question

不要那种用1去减然后比较大小的。谢了！

Answer 1

设x=2005,则x+1=2006,x+2=2007.
下证x/(x+1)<(x+1)/(x+2).
因为(x+1)^2=x^2+2x+1>x^2+2x>x(x+2),
x>0,x+1>0.
所以(x+1)^2/(x+2)>x,
(x+1)/(x+2)>x/(x+1).
即x/(x+1)<(x+1)/(x+2). ....(1)
故2005/2006<2006/2007.
（1）式中令x=2006,得
2006/2007<2007/2008.
综合得
2005/2006<2006/2007<2007/2008.

Answer 2

通分
（2005x2007x2008）/（2006x2007x2008）-----------a
（2006x2006x2008）/（2006x2007x2008）-----------b
（2006x2007x2007）/（2006x2007x2008）-----------c

a=[2005x(2006+1)x2008]/（2006x2007x2008)
=(2005x2006x2008+2005*2008)/（2006x2007x2008)

b=[(2005+1)x2006x2008]/（2006x2007x2008
=（2005x2006x2008+2006x2008）/（2006x2007x2008

所以b>a
同理可得c>b