数列求和 i的平方相加(1+4+9+16+.......n的平方) 求sn 我要过程,

如题所述

1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

证明如下:排列组合法)

由于

因此我们有

等于

由于

于是我们有

扩展资料

1、一般的数列求和问题应从通项公式入手,若无通项公式,应先求通项公式,然后根据通项公式的特点选择合适的方法求和。

2、解决非等差、等比数列的求和问题主要有两种方法,一为将非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列问题;二为不能转化为等差、等比数列的问题,可以考虑利用倒序相加法、错位相减法、裂项法、分组求和法等进行求和。

3、对于等比数列的求和问题,要注意判断公比是否为1,然后进行分类讨论.等差数列的求和公式有多种形式,要注意根据已知条件选择合适的求和公式。

温馨提示:答案为网友推荐,仅供参考
第1个回答  2019-01-21

1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

证明:

(n+1)³=n³+3n²+3n+1

(n+1)³-n³=3n²+3n+1

n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1

...

3³-2³=3*2²+3*2+1

2³-1³=3*1²+3*1+1

两边分别相加得

(n+1)³-1³=3*(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+1*n

(n³+3n²+3n)-3n(n+1)/2-n=3Sn

3Sn=n(2n²+3n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/2

Sn=n(n+1)(2n+1)/6

扩展资料:

数列求和的方法:

1、第一种:公式型:

顾名思义,有现成的公式可用的;这样的数列是等差数列和等比数列,因为它门有直接的公式可以使用;所以也是最简单的。只要确定好项数是多少,公差或公比,还有首项的话,就可以直接解决。

2、第二种:分组求和

顾名思义,是分开进行的,这种数列的通项公式一般这样的:

首先先列出前n项和的表达式形式,其实就是从第一项一直加到第n项:

红色线条内分别是等差数列的前n项和;等比数列前n项和;我们直接用公式就可以求解;最后又变成了用公式法来解决。

3、第三种:裂项向消:

顾名思义:就是分裂然后相互抵消:

具体操作如下:

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第2个回答  2019-05-21

1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6

证明:

(n+1)³=n³+3n²+3n+1

(n+1)³-n³=3n²+3n+1

n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1

...

3³-2³=3*2²+3*2+1

2³-1³=3*1²+3*1+1

两边分别相加得

(n+1)³-1³=3*(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+1*n

(n³+3n²+3n)-3n(n+1)/2-n=3Sn

3Sn=n(2n²+3n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/2

Sn=n(n+1)(2n+1)/6

扩展资料

公式法

等差数列求和公式:

(首项+末项)×项数/2

举例:1+2+3+4+5+6+7+8+9=(1+9)×9/2=45

等比数列求和公式:

差比数列求和公式:

a:等差数列首项

d:等差数列公差

e:等比数列首项

q:等比数列公比

其他

错位相减法

适用题型:适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式(等差等比数列相乘)

{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

例如:

______①

Tn=上述式子/(1-q)

此外.①式可变形为

Sn为{bn}的前n项和.

此形式更理解也好记

倒序相加法

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n个(a1+an)

Sn =a1+ a2+ a3+...... +an

Sn =an+ an-1+an-2...... +a1

上下相加得Sn=(a1+an)n/2

分组法

有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.

例如:an=2n+n-1,可看做是2n与n-1的和

Sn=a1+a2+...+an

=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1

=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)

=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2

=2n+1+n(n-1)/2-2

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第3个回答  2021-08-06

在做平方数求和“1²+2²+3²+···+n²”时,如果有可(tao)爱(yan)的小学生问“n(n+1)(2n+1)/6”这个公式怎么来的,你有没有什么办法给他讲懂呢?

证明方法倒是很多——高次相邻项相减累加法、Abel恒等变换、四棱锥立方体法、待定系数法、扰动法……

但作为一名小学数学老师,⑨老师和众多老师一样,认为“踢三角”才是最最最适合小学生的证明方法.

该方法简单直观,并能让小学生充分体会到“数形结合”的奇妙……

看到这,你可能已经预判到⑨老师要画三角形并开始讲那个“踢一脚”“再踢一脚”的“踢三角大法”了——

非也!

不必踢两脚,叠起来更好——

——确认过眼神,这是干货文~

以下是⑨老师的原创内容:把“踢三角”改造为“RGB叠三角”!

“RGB叠三角”其实是“高斯倒序相加求和法”的进阶版.

既然我们愿意不厌其烦地给孩子讲“高斯小时候巧妙地计算从1加到100”的故事,那就更应该“好人做到底”.

有关“RGB叠三角”的正确学习方式应分为以下三阶段——

①高斯求和→②平方数求和→③自然数乘等差数求和.

○△△△△
○○△△△
○○○△△
○○○○△

(1+2+3+4)+(4+3+2+1)=(1+4)+(2+3)+(3+2)+(4+1)

以上是高斯求和:将原式copy一份然后倒序相加,会看到“项项相等”的奇妙现象!

而平方数求和“1²+2²+3²+4²”可以认为是“1×1+2×2+3×3+4×4”,即——

1
22
333
4444

如果还是模仿高斯求和将原式copy一份然后倒序相加——

14444
22333
33322
44441

(⊙o⊙)…呃~

以上每行并不相等……失败.

这是因为平方数求和的第n项“n²”随序号n呈现平方式增加,变得“头更轻脚更重”.

既然复制一份倒序相加不再有效,那就超级加倍——复制两份,并把——

1
22
333
4444

写在三张透明的三角形塑料片上——

一张红色半透明塑料片名为R,一张绿色半透明塑料片名为G,一张蓝色半透明塑料片名为B,将R、G、B上面的三角形数表的“1”分别朝三个不同方向并上下重叠在一起——

就会出现高斯求和中“项项相等”的现象——

R、G、B重叠后三角形数表的每个位置都叠放有三个数,且每个位置的三个数之和都等于“1+4+4”.

以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个,所以——

R+G+B=(1+4+4)×(1+2+3+4)

又因为R=G=B=1²+2²+3²+4²,所以——

1²+2²+3²+4²
=(1+4+4)×(1+2+3+4)/3
=(1+4×2)×[(1+4)×4/2]/3
=(1+4×2)×4×(4+1)/6

如果把上式中的“4”推广到“n”,则有——

1²+2²+3²+···+n²
=(1+2n)n(n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6

以上是平方数求和公式的“RGB叠三角”证明法.

还没完,接下来我们继续介绍——

“自然数乘等差数”的求和方法.

(自然数乘等差数即自然数列1~n与等差数列A1~An序号相等的每一项相乘再求和.)

设R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7,则有——

仍然会出现高斯求和中“项项相等”的现象——

R、G、B重叠后的三角形数表的每个位置都叠放有三个数,且每个位置的三个数之和都等于“1+7+7”.

以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个,所以——

R+G+B=(1+7+7)×(1+2+3+4)

又因为R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7,所以——

1×1+2×3+3×5+4×7
=(1+7+7)×(1+2+3+4)/3
=(1+7×2)×[(1+4)×4/2]/3
=(1+7×2)×4×(4+1)/6

如果把上式中的“4”推广到“n”,另设“An”为等差数列第n项,设“A1”为等差数列首项,则有——

1×1+2×3+3×5+···+n×An
=(A1+2An)n(n+1)/6
=n(n+1)(2An+A1)/6

以上就是“自然数乘等差数”的求和公式,特别地,当An=n时,以上公式退化为——

n(n+1)(2n+1)/6

没错,平方数求和公式其实是“自然数乘等差数”求和公式的特殊情况.


最后⑨老师想说的是,数学证明往往是给看似不相关的两样东西画上等号——这是非常需要灵感的.

灵感通常被描述为一瞬间打开了纵观全局的上帝视角.

这种视角,往往是把概念、数据、符号、算式图形化、结构化、等量转化——

这也是为什么⑨老师推荐大家多多去体会“数形结合”,比如金字塔数求和1+2+3+4+3+2+1=?

一个4×4的点阵,从正常角度来看它就是4行4列即“4+4+4+4”,而按照斜线来求和却是“1+2+3+4+3+2+1”,于是我们把“同一数量的两种不同表达用等号连接”:1+2+3+4+3+2+1=4×4

要知道,数学最重要的就是各种等式,而神奇公式等号连接的两侧,几乎都是我们认为风马牛不相及的东西——

e^(πi)=-1

第4个回答  推荐于2017-09-02
解:采用数学归纳法可以计算
Sn=1²+2²+3²+4²+...+n²
由于n²=n(n+1)-n
即1²=1×(1+1)-1=1×2-1
2²=2×(2+1)-2=2×3-2
3²=3×(3+1)-3=3×4-3
4²=4×(4+1)-4=4×5-4
.....
所以Sn=1²+2²+3²+4²+...+n²
=1×2-1+2×3-2+3×4-3+4×5-4+...+n(n+1)-n
=【1×2+2×3+3×4+4×5+...+n(n+1)】-(1+2+3+4+...+n)
以为n(n+1)=【n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)】/3
所以1×2+2×3+3×4+4×5+...+n(n-1)

=(1×2×3-0×1×2)/3+(2×3×4-1×2×3)/3+(3×4×5-2×3×4)/3+(4×5×6-3×4×5)/3+...+【n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)】/3
=【1×2×3-0+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+4×5×6-3×4×5+...+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)】/3
=【n(n+1)(n+2)】/3
所以Sn=【1×2+2×3+3×4+4×5+...+n(n+1)】-(1+2+3+4+...+n)
=【n(n+1)(n+2)】/3-【n(n+1)】/2
=【2n(n+1)(n+2)】/6-【3n(n+1)】/6
=【2n(n+1)(n+2)-3n(n+1)】/6
=【n(n+1)(2n+4-3)】/6
=【n(n+1)(2n+1)】/6
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