1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明如下：排列组合法）
由于
因此我们有
等于
由于
于是我们有
扩展资料
1、一般的数列求和问题应从通项公式入手，若无通项公式，应先求通项公式，然后根据通项公式的特点选择合适的方法求和。
2、解决非等差、等比数列的求和问题主要有两种方法，一为将非等差、等比数列问题转化为等差、等比数列问题；二为不能转化为等差、等比数列的问题，可以考虑利用倒序相加法、错位相减法、裂项法、分组求和法等进行求和。
3、对于等比数列的求和问题，要注意判断公比是否为1，然后进行分类讨论．等差数列的求和公式有多种形式，要注意根据已知条件选择合适的求和公式。
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明:
(n+1)³=n³+3n²+3n+1
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
...
3³-2³=3*2²+3*2+1
2³-1³=3*1²+3*1+1
两边分别相加得
(n+1)³-1³=3*(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+1*n
(n³+3n²+3n)-3n(n+1)/2-n=3Sn
3Sn=n(2n²+3n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/2
Sn=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料：
数列求和的方法：
1、第一种：公式型：
顾名思义，有现成的公式可用的；这样的数列是等差数列和等比数列，因为它门有直接的公式可以使用；所以也是最简单的。只要确定好项数是多少，公差或公比，还有首项的话，就可以直接解决。
2、第二种：分组求和
顾名思义，是分开进行的，这种数列的通项公式一般这样的：
首先先列出前n项和的表达式形式，其实就是从第一项一直加到第n项：
红色线条内分别是等差数列的前n项和；等比数列前n项和；我们直接用公式就可以求解；最后又变成了用公式法来解决。
3、第三种：裂项向消：
顾名思义：就是分裂然后相互抵消：
具体操作如下：
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
证明:
(n+1)³=n³+3n²+3n+1
(n+1)³-n³=3n²+3n+1
n³-(n-1)³=3(n-1)²+3(n-1)+1
...
3³-2³=3*2²+3*2+1
2³-1³=3*1²+3*1+1
两边分别相加得
(n+1)³-1³=3*(1²+2²+...+n²)+3(1+2+...+n)+1*n
(n³+3n²+3n)-3n(n+1)/2-n=3Sn
3Sn=n(2n²+3n+1)/2=n(n+1)(2n+1)/2
Sn=n(n+1)(2n+1)/6
扩展资料
公式法
等差数列求和公式:
（首项+末项）×项数/2
举例：1+2+3+4+5+6+7+8+9=（1+9）×9/2=45
等比数列求和公式：
差比数列求和公式：
a:等差数列首项
d:等差数列公差
e:等比数列首项
q:等比数列公比
其他
错位相减法
适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）
{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.
例如：
______①
Tn=上述式子/(1-q)
此外.①式可变形为
Sn为{bn}的前n项和.
此形式更理解也好记
倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1+an)
Sn =a1+ a2+ a3+...... +an
Sn =an+ an-1+an-2...... +a1
上下相加得Sn=(a1+an)n/2
分组法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例如：an=2n+n-1，可看做是2n与n-1的和
Sn=a1+a2+...+an
=2+0+22+1+23+2+...+2n+n-1
=(2+22+...+2n)+(0+1+...+n-1)
=2(2n-1)/(2-1)+(0+n-1)n/2
=2n+1+n(n-1)/2-2
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在做平方数求和“1²+2²+3²+···+n²”时，如果有可(tao)爱(yan)的小学生问“n(n+1)(2n+1)/6”这个公式怎么来的，你有没有什么办法给他讲懂呢？
证明方法倒是很多——高次相邻项相减累加法、Abel恒等变换、四棱锥立方体法、待定系数法、扰动法……
但作为一名小学数学老师，⑨老师和众多老师一样，认为“踢三角”才是最最最适合小学生的证明方法.
该方法简单直观，并能让小学生充分体会到“数形结合”的奇妙……
看到这，你可能已经预判到⑨老师要画三角形并开始讲那个“踢一脚”“再踢一脚”的“踢三角大法”了——
非也！
不必踢两脚，叠起来更好——
——确认过眼神，这是干货文~
以下是⑨老师的原创内容：把“踢三角”改造为“RGB叠三角”！
“RGB叠三角”其实是“高斯倒序相加求和法”的进阶版.
既然我们愿意不厌其烦地给孩子讲“高斯小时候巧妙地计算从1加到100”的故事，那就更应该“好人做到底”.
有关“RGB叠三角”的正确学习方式应分为以下三阶段——
①高斯求和→②平方数求和→③自然数乘等差数求和.
○△△△△
○○△△△
○○○△△
○○○○△
(1+2+3+4)+(4+3+2+1)=(1+4)+(2+3)+(3+2)+(4+1)
以上是高斯求和：将原式copy一份然后倒序相加，会看到“项项相等”的奇妙现象！
而平方数求和“1²+2²+3²+4²”可以认为是“1×1+2×2+3×3+4×4”，即——
1
22
333
4444
如果还是模仿高斯求和将原式copy一份然后倒序相加——
14444
22333
33322
44441
(⊙o⊙)…呃~
以上每行并不相等……失败.
这是因为平方数求和的第n项“n²”随序号n呈现平方式增加，变得“头更轻脚更重”.
既然复制一份倒序相加不再有效，那就超级加倍——复制两份，并把——
1
22
333
4444
写在三张透明的三角形塑料片上——
一张红色半透明塑料片名为R，一张绿色半透明塑料片名为G，一张蓝色半透明塑料片名为B，将R、G、B上面的三角形数表的“1”分别朝三个不同方向并上下重叠在一起——
就会出现高斯求和中“项项相等”的现象——
R、G、B重叠后三角形数表的每个位置都叠放有三个数，且每个位置的三个数之和都等于“1+4+4”.
以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个，所以——
R+G+B=(1+4+4)×(1+2+3+4)
又因为R=G=B=1²+2²+3²+4²，所以——
1²+2²+3²+4²
=(1+4+4)×(1+2+3+4)/3
=(1+4×2)×[(1+4)×4/2]/3
=(1+4×2)×4×(4+1)/6
如果把上式中的“4”推广到“n”，则有——
1²+2²+3²+···+n²
=(1+2n)n(n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6
以上是平方数求和公式的“RGB叠三角”证明法.
还没完，接下来我们继续介绍——
“自然数乘等差数”的求和方法.
（自然数乘等差数即自然数列1~n与等差数列A1~An序号相等的每一项相乘再求和.）
设R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，则有——
仍然会出现高斯求和中“项项相等”的现象——
R、G、B重叠后的三角形数表的每个位置都叠放有三个数，且每个位置的三个数之和都等于“1+7+7”.
以上那些“相等的和”一共有“1+2+3+4”个，所以——
R+G+B=(1+7+7)×(1+2+3+4)
又因为R=G=B=1×1+2×3+3×5+4×7，所以——
1×1+2×3+3×5+4×7
=(1+7+7)×(1+2+3+4)/3
=(1+7×2)×[(1+4)×4/2]/3
=(1+7×2)×4×(4+1)/6
如果把上式中的“4”推广到“n”，另设“An”为等差数列第n项，设“A1”为等差数列首项，则有——
1×1+2×3+3×5+···+n×An
=(A1+2An)n(n+1)/6
=n(n+1)(2An+A1)/6
以上就是“自然数乘等差数”的求和公式，特别地，当An=n时，以上公式退化为——
n(n+1)(2n+1)/6
没错，平方数求和公式其实是“自然数乘等差数”求和公式的特殊情况.
最后⑨老师想说的是，数学证明往往是给看似不相关的两样东西画上等号——这是非常需要灵感的.
灵感通常被描述为一瞬间打开了纵观全局的上帝视角.
这种视角，往往是把概念、数据、符号、算式图形化、结构化、等量转化——
这也是为什么⑨老师推荐大家多多去体会“数形结合”，比如金字塔数求和1+2+3+4+3+2+1=？
一个4×4的点阵，从正常角度来看它就是4行4列即“4+4+4+4”，而按照斜线来求和却是“1+2+3+4+3+2+1”，于是我们把“同一数量的两种不同表达用等号连接”：1+2+3+4+3+2+1=4×4
要知道，数学最重要的就是各种等式，而神奇公式等号连接的两侧，几乎都是我们认为风马牛不相及的东西——
e^(πi)=-1
Sn=1²+2²+3²+4²+...+n²
由于n²=n（n+1）-n
即1²=1×（1+1）-1=1×2-1
2²=2×（2+1）-2=2×3-2
3²=3×（3+1）-3=3×4-3
4²=4×（4+1）-4=4×5-4
.....
所以Sn=1²+2²+3²+4²+...+n²
=1×2-1+2×3-2+3×4-3+4×5-4+...+n（n+1）-n
=【1×2+2×3+3×4+4×5+...+n（n+1）】-（1+2+3+4+...+n）
以为n（n+1）=【n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）】/3
所以1×2+2×3+3×4+4×5+...+n（n-1）
=（1×2×3-0×1×2）/3+（2×3×4-1×2×3）/3+（3×4×5-2×3×4）/3+（4×5×6-3×4×5）/3+...+【n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）】/3
=【1×2×3-0+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4+4×5×6-3×4×5+...+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）】/3
=【n（n+1）（n+2）】/3
所以Sn=【1×2+2×3+3×4+4×5+...+n（n+1）】-（1+2+3+4+...+n）
=【n（n+1）（n+2）】/3-【n（n+1）】/2
=【2n（n+1）（n+2）】/6-【3n（n+1）】/6
=【2n（n+1）（n+2）-3n（n+1）】/6
=【n（n+1）（2n+4-3）】/6
=【n（n+1）（2n+1）】/6