如图1,在等腰Rt△ABC中,D为直线BC上一点,过点D作AD的垂线DE,过点B作AB的垂线BE，求证：AD=BE
如图2，等腰Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，P为△ABC形外一点，∠APB=90°，求证：∠APC=∠BPC=45°
图1
图2
1)疑似：求证：AD=DE
证明 在AC上截取AF=BD,
因为AD⊥DE
所以∠ADE=90
所以∠ADC+∠EDB=90，
又因为∠CAD+∠ADC=90
所以∠CAD=∠EDB
因为等腰Rt△ABC中，AC=BC,
所以AC-AF=BC-BD
即CF=CD
又∠ACB=90°，
所以△CDF是等腰直角三角形
所以∠CFD=∠CDF=45
所以∠AFD=∠ACB+∠CDF=135°
因为EB⊥AB
所以ABE=90，
所以∠DBE=∠ABE+∠CBA=135
所以∠AFD=∠DBE=135
又AF=DB
所以△AFD≌△DBE
所以AD=DE
2）
过C作CE⊥AP,CF⊥BP,交AP于点E,PB的延长线于点F,
又因为∠APB=90
所以∠ECF=90
所以∠ECB+∠BCF=90，
因为∠ACB=90°，
所以∠ACE+∠ECB=90
所以∠ACE=∠BCF
又等腰直角三角形ABC中，AC=BC
∠AEC=∠CFB=90
所以△ACE≌△BCF
所以CE=CF
所以CP是∠APB的平分线(到角两边距离相等的点在角平分线上)
所以∠APC=∠BPC=∠APB/2=45
应该是要求证：AD=DE
证明：（1）过D作DN∥AB交AC于N点，根据∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，
求证△AND≌△DBE即可。详细证明过程如下图所示：
（2）此题最简单地做法就是利用四点共圆法
证明：由已知条件∠ACB=90°，∠APB=90°
则四边形APBC有外接圆，即：A、P、B、C四点共圆
AB为该外接圆的直径
取AB中点D，连接CD
∵△ABC为等腰Rt△ABC
∴∠ADC=∠BDC=90°
∵∠APC=1/2∠ADC(同一段弦所对应的圆周角等于对应圆心角的一半)
∴∠BPC=1/2∠BDC
∴∠APC=∠BPC=45°得证
∠AED=∠ABD=45，（∵AC=BC，AC⊥BC）
又AD⊥DE，所以∠EAD=45，所以AD=DE（不可能是AD=BE的）
2、等腰Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，P为△ABC形外一点，∠APB=90°
所以ACBP四点共圆，则有：∠APC=∠ABC=45°，∠BPC=∠BAC=45°
即：∠APC=∠BPC=45°