一道初高中衔接数学题 求解 详细点 急！！！

Question

在三角形ABC中，AD,CF,BE分别为BC,AB,AC上的高，D,F,E分别为垂足，H为三角形ABC的垂心，求证：H为三角形DFE的内心 图弄不上去 自己画一下吧
还有一道 在三角形ABC中，G为重心，I为内心，若AB=6，BC=5，CA=4，求GI：BC的值

Answer 1

 

1、如图所示：因为HD⊥BC，HF⊥AB，所以H、F、B、D四点共圆

则∠DFH=∠DBH，同样B、C、E、D四点共圆得：∠EFH=∠DBH

所以∠DFH=∠EFH，所以FH是∠DFE的平分线，同理可证：

HD是∠FDE的平分线，所以H是△DEF二个内角平分线交点，

所以H是△DEF的内心

2、延长AG交BC于D，延长AI交BC于E
则 AG = 2GD   又AE是角平分线
∴ AC/CE = AB/BE
可求得 CE = 2
连CI，CI也是角平分线
∴ AI/IE = AC/CE = 4/2 = 2     又AG/GD=2
∴ IG // ED
∴ IG / ED = AG / AD = 2/3
ED = CD - CE = 1/2
∴ IG = 1/3      ∴ GI / BC = 1 / 15     如图所示

 

追问

延长AG交BC于D，延长AI交BC于E

是字打反了还是图错了啊？？？？？？？？？？？

追答

G与I标反了，这个图对了

追问

看懂了谢谢

追答AI/IE = AC/CE = 4/2 = 2， 又AG/GD=2
所以AI/IE =AG/GD利用平行截割线定理得到IG // ED

如图：AD/DB=AE/EC，则DE//BC

Answer 2

如图，AD⊥BC, BE⊥AC，∴△ABE,△ABD为直角三角形

又△ABE与△ABD的边AB重叠，∴A,B,D,E四点共圆

弦BD所对的圆心角∠BAD=∠BED，

在△ABD中，∠ABD+∠BAD=90°，∴∠ABD+∠BED=90°

又由BE⊥AC, CF⊥AB，可得B,C,E,F四点共圆

弦BF所对的圆心角∠FEB=∠FCB，

在△BCF中，∠FBC+∠FCB=90°，∴∠FBC+∠FEB=90°

而∠ABD=∠FBC，∴∠BED=∠FEB，即BE平分∠FED

类似方法，可以证明AD平分∠FDE，CF平分∠EFD

∴点H为△DEF的三个角的角平分线的交点，即内心