高中数学几何问题关于外接球

Question

1.求棱长为1的正四面体外接球的体积
2.球与它的内接正方体的表面积之比是
3.已知一个正方体的顶点都在球面上，若它的棱长是4cm，则这个球的表面积是
4.已知一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积是4.5π，则正方体的表面积是

这种题有什么规律吗？几何体与它的外接球的表面积和体积有什么关系？？

Answer 1

1、求棱长为1的正四面体外接球的体积
解析：∵正四面体为A-BCD
过A作AO⊥面BCD交面BCD于O，O是BCD的中心
连接BO
BO = √3/2*2/3=√3/3
∵AB =1
由勾股定理AO^2=1-1/3=2/3==>AO=√6/3
设外接球半径为R，球心O’必在AO上
连接O’B==>O’B=O’A=R
则O’B^2-OO’^2=OB^2
R^2-(√6/3-R)^2=1/3==>R=√6/4
体积V = 4π*R^3/3=π√6/8.

2、球与它的内接正方体的表面积之比是
解析：设球半径为R，内接正方体棱长为a
内接正方体的对角线的长度为球的直径2R
∴a^2+a^2+a^2=4R^2
a^2=4R^2/3
正方体的表面积为
S=6a^2=8R^2
球的表面积是S1=4πR^2。
∴球与它的内接正方体的表面积之比是π/2

3、已知一个正方体的顶点都在球面上，若它的棱长是4cm，则这个球的表面积是
由第2题知a^2=4R^2/3==>R^2=3/4a^2
∵a=4，∴球的表面积是：S=48π

或球与它的内接正方体的表面积之比是π/2
S=96*π/2=48π

4、已知一个正方体的顶点都在球面上，若球的体积是4.5π，则正方体的表面积是

解析：∵球V=4/3πR^3=4.5π
∴球R=3/4，
由第2题a^2=4R^2/3=3/4
正方体的表面积S=6a²=6*3/4=9/2

Answer 2

1、正四面体为A-BCD，做高线AO交平面BCD于O，O是BCD的中心，这时候BOA是直角三角形，BO = (根号3/2)*(2/3) = （根号3）/3;
AB =1 故由勾股定理AO^2=1-1/3=2/3得AO= （根号6)/3;
外接球半径为R = (2/3)*AO = （2*根号6)/9
体积V = 4π*R^3/3.
2、是π/2
正方体的对角线的长度为球的直径2R
又因为a^2+a^2+a^2=4R^2
a^2=4R^2/3
正方体的表面积为
S=6a^2=8R^2
球的表面积是4πR^2。

3、由S/16*6=π/2
球的表面积是：S=48π
4、V=4/3πR^3=4.5π,所以：R=3/2，正方体的表面积S=6a²=6*4/3r²=18