已知齐次线性方程组：，求特解？

Question

如题所述

Answer 1

y''–2y'–3y=3x＋1
特征方程r²–2r–3=0
r1=3，r2=–1
齐次方程通解为y=C1·e^(–x)＋C2·e^(3x)
求原方程特解
方法一(需要掌握):设特解为y=ax＋b，则y'=a，y''=0，代入原方程得–3ax–2a–3b=3x＋1
–3a=3，–2a–3b=1
可解得a=–1，b=1/3
特解就为y=–x＋1/3
方法二:可以用微分算子法(此法在一些复杂题目中更加简便，可以作为验算的一种方法，只作了解)
D²y–2Dy–3y=3x＋1
特解y=1/(D²–2D–3) (3x＋1)
=(–1/3＋2/9 D) (3x＋1)
=–1/3 (3x＋1)＋2/9 · 3
=–x＋1/3
所以原方程通解y=C1·e^(3x)＋C2·e^(–x) – x＋1/3