学习数学分析、代数与拓扑的正确顺序是什么？

Question

如题所述

Answer 1

你不可能把所有的基础书都完整的读过来，
除非你研究生要做的东西是Langlands纲领。

1. 分析，学习顺序如下：
数学分析： 也就是实轴 R上的分析，微积分
复分析 ： 复平面C上的分析，
实分析： 在区间的基础上，引入测度的概念，从测度上抽象定义积分。
泛函分析： 分析对象从可测集（区间）变成了可测集（区间）上的函数，
对函数集引入度量，研究函数函数空间的性质。
着重研究Banach空间和Hilbert空间，谱分解。
调和分析： 某空间上函数空间，与之对偶空间的性质，用测度、积分，谱方法来研究。

2.
代数与拓扑
抽象代数： 研究代数的具体结构，群、环、域、模，域的可分正规扩张——伽罗瓦扩张。
拓扑 ： 定义在什么样的物体上可以进行所谓的测量，
严格的从数学的公理化出发进行定义。
微分几何：即黎曼几何，从某个对象上的光滑可微函数出发，以此为基础研究对象的几何学。
够作的物体称为manifold.
这种研究方法抛弃了坐标系，同样类似的还有代数几何，以代数中的公理为基础，
将对象上的函数看作代数对象，进行研究。
这种研究的一个先决条件是“可测”，也就是需要实分析和拓扑的基础知识。
李群： 研究某个具有manifold结构的群，在微分方法和代数方法之间不停转换。

3. 数论的主要研究分支
素数在自然数中的分布，整数多项式的整数解，哥德巴赫猜想；
代数数域的类数，有理数域中的Galois扩张与之对应的L-函数；
代数几何中曲线的整数解问题（主要是椭圆曲线）；

4. Langlands纲领：
阿代尔整体数域在约化群上的自守表示的性质；
自守表示与自守L-函数之间的关系；
自守L-函数与数论L-函数的关系。