泊松分布期望公式推导介绍如下：
设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，即 P(X=k) = e^(-λ) * λ^k / k!，k=0, 1, 2, ...。
期望 E[X] 是所有可能取值 k 的加权和，即：E[X] = Σ(k * P(X=k))= Σ(k * e^(-λ) * λ^k / k!)= e^(-λ) * Σ(λ^k / k!)
为了计算这个期望，我们使用一个数学技巧，即对 k 从 0 到 ∞ 的求和可以转化为对 e^(λ) 的积分：∫(e^(λ) * λ^k / k!) dλ = e^(λ) * e^(-λ) = e^(0) = 1
因此，E[X] = e^(-λ) * ∫(e^(λ) * λ^k / k!) dλ= e^(-λ) * ∫(e^(λ) dλ) / ∫(e^(λ) * λ^(k-1) / k! dλ)= e^(-λ) * (e^λ - 1) / (e^λ - 1/k!)= λ / (e^(-λ) - 1/k!)
当 k → ∞ 时，1/k! → 0，因此期望 E[X] 趋于 λ。
拓展介绍
泊松分布的期望和方差均是λ，λ表示总体均值；P(X=0)=e^(-λ)。
X～P(λ) 期望E(X)=λ，方差D(X)=λ 。
利用泊松分布公式P(x=k)=e^(-λ)*λ^k/k。
P表示概率，x表示某种函数关系，k表示数量，等号的右边，λ 表示事件的频率。
P(λ)。
期望 E(X)=λ。
方差D(X)=λ。
利用泊松分布公式P(x=k)=e^(-λ)*λ^k/k。
可知P(X=0)=e^(-λ)。
概率函数
泊松分布泊松分布的概率分布函数为： P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} 泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数等等。