一元函数定积分的计算方法

Question

如题所述

Answer 1

一元函数定积分的计算方法如下：

方法一、换元积分法在已经了解到求解很多函数的相应原函数都需要借助换元法或者分部积分法，所以，换元积分法以及分部积分法对定积分运算也是十分重要,如果有f(x)在闭区间[a，b]上具有连续性;x=ф(t)在闭区间[a，b]上可导。

且导数连续不变号;函数x=ф(t)的值随t在闭区间[a，B]上的改变而改变，并且ф(a )=a，ф(B)=b，于是可得[baf(x)dx=∫Baf[ф’(t)]dt.在应用如上定理计算定积分时，一定要注意x=d(t)需要满足的条件，改变积分变量时要记得改变积分上下限。

方法二、然后再计算新变量积分的值例1计算定积分(21x-1xdx解做变换x-1=t，那么有x=1+t2，dx=2tdt当x取1时，t=0;当x取2时，t=1所以原式=[102tdt1+t2=2[101-11+t2dt=2(tarctant)10=21-π4

计算定积分fe1lnxdx解令u=lnx，dv=dx，于是原式=[xlnx]le1-[e1xdxx=(e-0)-(e-1)=1.三、有理函数定积分有理函数定积分问题和有理函数不定积分问题往往联系十分紧密，求解方法也类似.例3计算∫π412dxx4(1+x2)解对被积函数进行适当拆分可得:原式=∫π4121x4dx-∫π4121x2dx+∫π4121x2+1dx

分部积分法设函数u=u(x)和函数v=v(x)都在闭区间[a，b]上可导，且导数连续，于是根据微分法那么d(uv)=vdu+udv，变形可得udv=d(uv)-vdu，两边同时在闭区间[a，b]上积分有[baudv=(uv)|ba-[bavdu，如上所述式子即为定积分的分部积分公式，这里的a，b分别是x的下限和上限。