一元四次方程有唯一解

Question

如题所述

Answer 1

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设方程的四根分别为：
x1=(-b+A+B+K)/(4a)
x2=(-b-A+B-K)/(4a)
x3=(-b+A-B-K)/(4a)
x4=(-b-A-B+K)/(4a)
(A,B,K三个字母足以表示任意三个复数，根据韦达定理：方程四根之和为-b/a，所以当x1，x2，x3的代数式为原方程的三根时，那么x4形式的代数式必是方程的第四个根。)
将这四个代数式代入到韦达定理中可整理得：
x1+ x2+ x3+ x4= -b/a
x1x2 +x1x3+ x1x4+ x 2 x3 + x2x4+ x3 x4=(1/8a2)(3b2-A2-B2-K2)=c/ax1x2x3 +x1x2x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4= (1/16a3)(-b3+bA2+bB2+Bk2+2ABK)= -d/a
x1x2 x3 x4=(1/256a4)(b4+ A4+B4+K4-2b2A2-2b2B2-2b2K2-2A2B2-2A2K2-2B2K2-8bABK)=e/a
整理后为：
A2+B2+K2=3b2-8ac——————————————————记为p
A2B2+A2K2+B2K2=3b4+16a2c2-16ab2c+16a2bd-64a3e——记为q
A2B2K2=(b3-4abc+8a2d)2———————————————记为r
由此可知：A2，B2，K2是关于一元三次方程
y3-py2+qy-r=0的三根
从而可解得±y11/2,±y21/2,±y31/2是A，B，K的解。
若y11/2, y21/2, y31/2是A，B，K的一组解（A，B，K具有轮换性，所以在代入时无须按照顺序）
那么另外三组为
（y11/2,- y21/2,- y31/2
（- y11/2, y21/2, -y31/2
（-y11/2,- y21/2, y31/2
从而将以上任意一组解代入到所设代数式中，均可解得原四次方程的四根。
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