小颖看到一卷卫生纸，她想知道这卷纸的长度和单层厚度，但又不想展开卫生纸。利用物理实验和包装信息，设

Question

小颖看到一卷卫生纸，她想知道这卷纸的长度和单层厚度，但又不想展开卫生纸。利用物理实验和包装信息，设计一种试验方法。

Answer 1

解：设卷纸外径（即大圆筒直径）为D，内径（即小空心圆筒直径）为d，卷纸宽度为b，单层厚度为x，卷纸总长度为L(3层重叠成一大层后展开的长度)。认为卷纸时缠绕的比较密实、紧凑，层间无间隙，否则根据常识，缠的越松，最后缠出来的纸卷越大，此问题就无确定解了。
本例D=138mm，d=104mm。
不知道你学过微积分没有，如果学过，精确的讲卷纸绕出来的是个螺线，其总长度计算需要用到积分知识，计算相对比较麻烦。
如果你是中学生，可以利用等差数列知识简化考虑：由于层数较多，且卷纸较薄，可以认为卷纸每大层（根据其规格：3层，就是说每3个单层一起绕，合起来为一大层）就是一个整圆的薄皮，其厚度为3x。
第一大层（3个单层）：直径d1=d+3x（注意：内层直径为d，外层直径为d+6x，故平均直径为d+3x！），长度为πd1=π(d+3x)；
第二大层：直径d2=d1+6x=d+9x，长度为πd2=π(d+9x)；
……
第k大层：直径dk=d1+6(k-1)x=d+(6k-3)x，长度为πdk=π[d+(6k-3)x]；
……
最外面的大层：直径dn=d+(6n-3)x=D-3x，长度πdn=π[d+(6n-3)x]=π(D-3x)。
总大层数：n=(D-d)/(6x) ①
则卷纸总长度：
n
L=∑ π[d+(6k-3)x]
k=1
=nπ(d-3x)+6πx*n(n+1)/2 ②
将①式代入②得：
L=(D-d)/(6x) *π(d-3x)+π*(D-d) *[(D-d)/(6x) +1)]/2
=π(D-d)*[ (d-3x)/(6x)+ (D-d)/(12x) +1/2]
=π(D-d)*[ (D+d)/(12x)]
=π(D²-d²)/(12x) ③
当然了，你如果是初中生，没有学过等差数列，根据体积相等也能得到式③：
bL*3x=b*π(D²-d²)/4
得
L=π(D²-d²)/(12x)
可见，如果能测出单层厚度x，那么其展开长度可由式③确定。
那么怎么测单层厚度呢？题中说不想展开纸卷，指的应该是不能全部展开后用米尺量总长度。但总可以展开若干层吧，否则没有办法确定其厚度。
据此，我们可以用一把尺子在纸卷的任意一个侧面上画一条过纸卷的起始端和纸卷圆心的直线，也就是说给每一层的起止位置做下记号。现在开始一层层展开，每次过标记处就多展开了1层。当展开10层（指大层，含3个单层）后，用尺子再量下现状纸卷的外直径D1，显然可以算出单层厚度：
x=(D-D1)/(6×10)
然后利用式③即可算出其展开长度L。

Answer 2

可奥！怎么会有这么变态的题