1/(sinx+cosx)的不定积分怎么求？

Question

如题所述

Answer 1

令u = tan(x / 2),dx = 2du / (1+u²)

sinx = 2u / (1+u²),cosx = (1 - u²) / (1 + u²)

∫ dx / (sinx + cosx)

= ∫ 2 / 【(1 + u²) * [2u / (1+u²) + (1 - u²) / (1 + u²)]】 du

= 2∫ du / (-u² + 2u + 1)

= 2∫ du / [2 - (u - 1)²]

= 2∫ dy / (2 - y²),y=u - 1

= (1 / 2√2)ln|(y + √2) / (y - √2)| + C

= (1 / 2√2)ln|(u - 1 + √2) / (y - 1 - √2)| + C

= (1 / 2√2)ln|[tan(x / 2) - 1 + √2] / [tan(x / 2) - 1 - √2)| + C

= √2arctanh【[tan(x / 2) - 1] / √2】+ C

扩展资料

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：

1、 根式代换法，

2、 三角代换法。

在实际应用中，代换法最常见的是链式法则，而往往用此代替前面所说的换元。

链式法则是一种最有效的微分方法，自然也是最有效的积分方法。

Answer 2

这里用了两种方法，求的是定积分。要求不定积分，+c就好了。

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

令u = tan(x / 2)，dx = 2du / (1+u²)
sinx = 2u / (1+u²)，cosx = (1 - u²) / (1 + u²)
∫ dx / (sinx + cosx)
= ∫ 2 / 【(1 + u²) * [2u / (1+u²) + (1 - u²) / (1 + u²)]】 du
= 2∫ du / (-u² + 2u + 1)
= 2∫ du / [2 - (u - 1)²]
= 2∫ dy / (2 - y²)，y=u - 1
= (1 / 2√2)ln|(y + √2) / (y - √2)| + C
= (1 / 2√2)ln|(u - 1 + √2) / (y - 1 - √2)| + C
= (1 / 2√2)ln|[tan(x / 2) - 1 + √2] / [tan(x / 2) - 1 - √2)| + C
= √2arctanh【[tan(x / 2) - 1] / √2】+ C

解:
∫cosx/(1+sinx) dx
=∫1/(1+sinx) d(sinx+1)
=ln(1+sinx)+C

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Answer 5

①sinx＋cosx＝√2sin(x＋π╱4)
②令x＋π╱4＝t
③1╱sint＝csct
④csct的积分为ln(csct－cot t)＋C.其中括号应为绝对值符号。