1、n个自然数构成数列a1,a2,…an,求证:这个数列中一定有一个数或连续若干个数的和被n整除。
2、(x-b-c)/a+(x-c-a)/b+(x-a-b)/c=3(ab+bc+ca不为0)
3、任意给定2007个自然数。证明:其中必有若干个自然数,和是2007的倍数(单独一个数也看作和)
4、求自然数a1a2…an(是一个数,不是很多a相乘),使得12*2a1a2…an1(是一个数,不是很多a相乘)=21*1a1a2…an2(是一个数,不是很多a相乘)
1,前k项的和记为sk 对于s1,s2,s3...sn中如果有一个被n整除那么直接成立,否则除以n的余数只能是1,2...n-1所以必然有两个数除以n余数相等设为si,sj(i<j)
则sj-si能被n整除 而sj-si=a(i+1)+a(i+2)+...+aj是连续若干个数的和 。至此结论成立
2,(ab+bc+ca)x=3abc+bc(b+c)+ab(a+b)+ac(a+c)=bc(a+b+c)+ab(a+b+c)+ca(a+b+c) (这里就是把3abc分成3个加到后面3项中)=(ab+bc+ca)(a+b+c)
所以x=a+b+c。 完毕。
3,就是第一题的特例
4,设数为x,4(2*10^(n+1)+10x+1)=7(10^(n+1)+10x+2)
移项 10^(n+1)=30x+10 3x+1=10^n
因此 3x=10^n-1=999999..99(n个9)
x=33333333...3(n个3) 也就是说a1=a2=...=an=3 完毕
http://www.aoshu.cn/tiku.shtml 很全的,应该对你有些帮助.
这里还有一些其他网址
http://www.aoshu.net/article/zhongxue/CZTK/index.html http://www.lnas.com.cn/astk.asp