急求高数下：讨论正项级数lnn除以n的p次方的收敛性，详解

Question

如图，圈出部分如何证明？？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

上图给出了这种情况的一般性证明。实际上就是lnn的增长非常缓慢。

Answer 3

lim[lnx/x^p]
=lim[(1/x)/x^(p-1)] 洛必塔法则
=lim(1/x^p)
说明 lnn在lnx/x^p(p>=1)中完全可以忽略不计
但 lnn/n>1/n,
所以当p>1时Σ(lnn/x^p)收敛，当p<=1时Σ(lnn/x^p)发散

Answer 4

两者比后利用洛必达法则一次导数就可证明出来

Answer 5

直接用洛氏法则简单：
lim{n->oo} lnx/x^p （p < 0时显然发散，所以只讨论 p > 0的情况。）
= lim{n->oo} 1/[p(x)^p]
根据 p-series test, p > 1 时收敛；p ≤ 1时发散。