如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点B的横、纵坐标分别是一元二次方程x 2 +5x﹣

Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上，点B的横、纵坐标分别是一元二次方程x 2 +5x﹣24=0的两个实数根，点D是AB的中点． （1）求点B坐标；（2）求直线OD的函数表达式；（3）点P是直线OD上的一个动点，当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出P点的坐标．

Answer 1

(1)点B坐标为（﹣8，3）；（2） ；（3）P点的坐标为标为 、 、 、 .

试题分析：本题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解方程，中点坐标公式，待定系数法，等腰三角形的判定与性质，分类思想的运用，综合性较强．（1）解方程x2+5x-24=0得到它的两个实数根，根据点B所在象限进一步得到点B坐标（﹣8，3）；（2）由点D是AB的中点，结合点B的坐标可得点D坐标（-4,3），再根据待定系数法得到正比例函数直线OD的函数表达式为： ；（3）由点P在直线OD上，可设P点的坐标为 ，当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时，应分三种情况讨论：即①PA=PD；②AP=AD；③DP=DA；分别就三种情况求出P点的坐标． 试题解析： 解：（1）解方程x 2 +5x﹣24=0， 得x 1 =﹣8，x 2 =3， ∴点B坐标为（﹣8，3）； ∵点D是AB的中点， ∴D（﹣4，3）； 设直线OD的解析式为 ， ∴3=﹣4k，解得 ∴直线OD的函数表达式为 （3）由A（0，3），D（﹣4，3）可知：AD=4． 设P点的坐标为 ，当以P、A、D三点为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ①如果PA=PD，那么点P在AD的垂直平分线上， ∴x=﹣2， ∴P点的坐标为 . ②如果AP=AD，那么 解得： （与D点重合舍去）， 当 时， ∴P点的坐标为 ③如果DP=DA，那么 解得： ， 当 时， ； 当 时， . ∴P点的坐标为 ， . 综上所述，P点的坐标为标为 、 、 、 .