证明:用反证法。
假设 |A*|≠0,则A*可逆。
又已知 |A|=0,那么AA*=|A|E=0。
等式两边右乘A*的逆矩阵,
可得 A=0。
所以A*=0。则|A*|=0。
而|A*|=0与假设的|A*|≠0矛盾。
所以假设不成立。
故当|A|=0时,|A*|=0。
扩展资料:
对于一个n阶矩阵A,那么其逆矩阵为A-1,而伴随矩阵为A*。那么逆矩阵与伴随矩阵具有如下的性质。
1、可逆矩阵一定是方阵。
2、如果矩阵A是可逆的,其逆矩阵是唯一的。
3、因为A*A-1=E,所以|A|*|A-1|=|E|=1。
4、矩阵A与伴随矩阵A*的乘积:A*A=AA*=|A|E。
5、伴随矩阵与逆矩阵之间关系:A-1=A*/|A|。
参考资料来源:百度百科-矩阵
不好意思,我发现我想错了。。。。
我再想想
假设|A*|≠0
由A*可逆
AA* = |A|E = 0
两边右乘(A*)^-1
A = 0 (注意A的所有元素都为0)
按照A*定义,容易知道A* = 0
矛盾。所以
|A*|=0
假设|A*|≠0
由A*可逆
AA* = |A|E
两边右乘(A*)^-1
A = 0 (注意A的所有元素都为0)
按照A*定义,容易知道A* = 0
矛盾。所以
|A*|=0
刚才又多打了。。。😂
无所谓了
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