第1个回答 2008-11-17
你自己看那些合适在中间拽就好了
数学一直是形成现代文化的主要力量，同时又是这种文化极其重要的因素，这种观点在许多人看来是难以置信的，或者充其量来说也只是一种夸张的说法。这种怀疑态度完全可以理解，它是一种普遍存在的对数学实质的错误概念所带来的结果。
由于受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。当有人对这种状况提出异议时，某些饱学之士可以得到权威们的支持。圣? 奥古斯丁(St．Augustine)不是说过吗：“好的基督徒应该提防数学家和那些空头许诺的人。这样的危险已经存在，数学家们已经与魔鬼签定了协约，要使精神进入黑暗，把人投入地狱”。古罗马法官则裁决“对于作恶者、数学家诸如此类的人”应禁止他们“学习几何技艺和参加当众运算像数学这样可恶的学问。”叔本华(Schopenhauer)，一位在现代哲学史上占有重要地位的哲学家，也把算术说成是最低级的精神活动，他之所以持这种态度，是基于算术能通过机器来运算这一事实。
由于学校数学教学的影响，这些权威性的论断和流行的看法，竟被认为是正确的!但是一般人忽视数学的观点仍然是错误的。数学学科并不是一系列的技巧。这些技巧只不过是它微不足道的方标题是本文译者加的，副标题为原标题面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。
技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。
因此，让我们看一看20世纪人们对这门学科的态度。首先，数学主要是一种寻求众所周知的公理法思想的方法。这种方法包括明确地表述出将要讨论的概念的定义，以及准确地表述出作为推理基础的公设。具有极其严密的逻辑思维能力的人从这些定义和公设出发，推导出结论。数学的这一特征由17世纪一位著名的作家在论及数学和科学时，以某种不同的方式表述过：“数学家们像恋人。……承认一位数学家的最初的原理，那么他由此将会推导出你也必须承认的另一结论，从这一结论又推导出其他的结论。”
仅仅把数学看作一种探求的方法，就如同把达? 芬奇“最后的晚餐”看作是画布上颜料的组合一样。数学也是一门需要创造性的学科。在预测能被证明的内容时，和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想象。例如，牛顿和开普勒就是极富于想象力的人，这使得他们不仅打破了长期以来僵化的传统，而且建立了新的、革命性的概念。在数学中，人的创造能力运用的范围，只有通过检验这些创造本身才能决定。有些创造性成果将在后面讨论，但这里只需说一下现在这门学科已有八十多个广泛的分支就够了。
如果数学的确是一种创造性活动，那么驱使人们去追求它的动力是什么呢?研究数学最明显的、尽管不一定是最重要的动力是为了解决因社会需要而直接提出的问题。商业和金融事务、航海、历法的计算、桥梁、水坝、教堂和宫殿的建造、作战武器和工事的设计，以及许多其他的人类需要，数学能对这些问题给出最完满的解决。在我们这个工程时代，数学被当作普遍工具这一事实更是毋庸置疑。数学的另外一个基本作用(的确，这一点在现代特别突出)，那就是提供自然现象的合理结构。数学的概念、方法和结论是物理学的基础。这些学科的成就大小取决于它们与数学结合的程度。数学已经给互不关联的事实的干枯骨架注入了生命，使其成了有联系的有机体，并且还将一系列彼此脱节的观察研究纳入科学的实体之中。
智力方面的好奇心和对纯思维的强烈兴趣，激励许多数学家研究数的性质和几何图形，并且取得了富有创造性的成果。今天很受重视的概率论，就开始于牌赌中的一个问题——一场赌博在结束之前就被迫中止了，那么赌注如何分配才合理?另外一个与社会需要或科学没有什么联系的最突出的成就，就是由古代希腊人创造出来的，他们把数学转变成了抽象的、演绎的和公理化的思想系统。事实上，数学学科中一些最伟大的成就——射影几何、数论、超穷数理论和非欧几何，这里我只提到我们将要讨论的内容——都是为了解决纯智力的挑战。
进行数学创造的最主要的趋策力是对美的追求。罗素，这位抽象数学思想的大师曾直言不讳地说：数学，如果正确地看它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐的那些华丽的装饰，它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。一种真实的喜悦的精神，一种精神上的亢奋，一种觉得高于人的意识——这些是至善至美的标准，能够在诗里得到，也能够在数学里得到。
除了完善的结构美以外，在证明和得出结论的过程中，运用必不可少的想象和直觉也给创造者提供了高度的美学上的满足。如果美的组成和艺术作品的特征包括洞察力和想象力，对称性和比例、简洁，以及精确地适应达到目的的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术。
尽管历史已清楚地表明，上述所有因素推动了数学的产生和发展，但是依然存在许多错误的观点。有这样的指责(经常是用来为对这门学科的忽视作辩解的)，认为数学家们喜欢沉湎于毫无意义的臆测;或者认为数学家们是笨拙和毫无用处的梦想家。对这种指责，我们可以立刻作出使其无言以对的驳斥。事实证明，即使是纯粹抽象的研究，更不用说由于科学和工程的需要而进行的研究了，也是有极大用处的。圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)自被发现二干多年来，曾被认为不过是“富于思辨头脑中的无利可图的娱乐”，可是最终它却在现代天文学、仿射运动理论和万有引力定律中发挥了作用。
另一方面，一些“具有社会头脑”的作家断言：数学完全或者主要是由于实际需要，如需要建筑桥梁、制造雷达和飞机而产生或发展的。这种断言也是错误的。数学已经使这些对人类方便有用的东西成为可能，但是伟大的数学家在进行思考和研究时却很少把这些放在心上。有些人对实际应用漠不关心，这可能是因为他们成果的应用在几百年后才实现。毕达哥拉斯和柏拉图的唯心主义数学玄想，比起货栈职员采用“+”号和“一”号的实际行动来(这曾使某一作家深信“数学史上的一个转折点乃是由日常的社会活动所致”)，所作的贡献要大得多。确实，几乎每一个伟大的人物所考虑的都是他那个时代的问题，流行的观点会制约和限制他的思想。如果牛顿早生二百年，他很有可能会成为一位出色的神学家。伟大的思想家追求时代智力风尚，就如同妇女在服饰上赶时髦一样。即使是把数学作为纯粹业余爱好的富有创造性的天才，也会去研究令专业数学家和科学家感到十分激动的问题。但是，那些“业余爱好者”和数学家们一般并不十分关心他们工作的实用价值。
实用的、科学的、美学的和哲学的因素，共同促进了数学的形成。把这些做出贡献、产生影响的因素中的任何一个除去，或者抬高一个而去贬低另外一个都是不可能的，甚至不能断定这些因素中谁具有相对的重要性。一方面，对美学和哲学因素作出反应的纯粹思维，决定性地塑造了数学的特征，并且作出了像欧氏几何和非欧几何这样不可超越的贡献。另一方面，数学家们登上纯思维的顶峰不是靠他们自己一步步攀登，而是借助于社会力量的推动。如果这些力量不能为数学家们注入活力，那么他们就立刻会身疲力竭;然后他们就仅仅只能维持这门学科处于孤立的境地。虽然在短时期内还有可能光芒四射，但所有这些成就会是昙花一现。数学的另一个重要特征是它的符号语言。如同音乐利用符号来代，表和传播声音一样，数学也用符号表示数量关系和空间形式。与日常讲话用的语言不同，日常语言是习俗的产物，也是社会和政治运动的产物，而数学语言则是慎重地、有意地而且经常是精心设计的、凭借数学语言的严密性和简洁性，数学家们就可以表达和研究数学思想，这些思想如果用普通语言表达出来，就会显得冗长不堪。这种简洁性有助于思维的效率。J．K．杰罗姆(J．K．Jerome)，为了需要求诸于代数符号，在下面一段描写中，尽管与数学无关，却清楚地表现了数学的实用性和明了性：
当一个12世纪的青年堕入情网时，他不会后退三步，看着他心爱的姑娘的眼睛，对他说她是世界上最漂亮的人儿。他说他要冷静下来，仔细考虑这件事。如果他在外面碰上一个人，并且打破了他的脑袋——我指另外一个人的脑袋——于是那就证明了他的——前面那个小伙子——姑娘是个漂亮姑娘。如果是另外一个小伙子打破了他的脑袋——不是他自己的，你知道，而是另外那个人的——对第二个小伙子来说的另外一个。因为另外一个小伙子只是对他来说是另外一个，而不是对前面那个小伙子——那么，如果他打破了他的头，那么他的姑娘——不是另外一个小伙子，而是那个小伙子，他……。瞧：如果A打破了月B脑袋，那么A的姑娘是一个漂亮的姑娘。但如果B打破了A的头，那么A的姑娘就不是一个漂亮的姑娘，而B的姑娘是一个漂亮的姑娘。
简洁的符号能够使数学家们进行复杂的思考时应付自如，但也会使门外汉听数学讨论如坠五里云雾。
数学语言中使用的符号十分重要，它们能区别日常语言中经常引起混乱的意义。例如，英语中使用“is”一词时，就有多种不同的意义。在“他在这儿”(He is here)这个句子中，“is”就表示一种物理位置。在“天使是白色的”(Anangel is white)这个句子中，它表示天使的一种与位置或物理存在无关的属性。在“那个人正在跑”(The man is running)这个句子中，这个词"is”表示的是动词时态。在“二加二等于四"(Two and Two are four)这个句子中，is的形式被用于表示数字上的相等。在“人是两足的能思维的哺乳动物”(Men are the two—legged thinking mammals)这个句子中，is的形式被用来断言两组之间的等同。当然，在一般日常会话中引用各种各样不同的词来解释is的所有这些意义，不过是画蛇添足，因为尽管有这些意义上的混乱，人们也不会因此产生什么误会。但是，数学的精确性——它与科学和哲学的精确性一样，要求数学领域的研究者们更加谨慎。
数学语言是精确的，它是如此精确，以致常常使那些不习惯于它特有形式的人觉得莫名其妙。如果一个数学家说：“今天我没看见一个人”(I did not see one person today)，那么他的意思可能是他要么一个人也没看见，要么他看见了许多人。一般人则可能简单地认为他一个人也没看见。数学的这种精确性，在一个还没有认识到它对于精密思维的重要性的人看来，似乎显得过于呆板，过于拘泥于形式。然而任何精密的思维和精确的语言都是不可分割的数学风格以简洁和形式的完美作为其目标，但有时由于过分地拘泥于形式上的完美和简洁，以致丧失了精确竭力要达到的清晰。假定我们想用一般术语表述图1所示的内容，我们很有可能说：“有一个直角三角形，画两个以该三角形的直角边作为其边的正方形，然后再画一个以该三角形斜边作为其边的正方形，那么第二个正方形的面积就等于前面两个正方形面积之和。”但是没有一个数学家会用这样的方式来表达自己的想法。他会这样说：“直角三角形直角边的平方和等于斜边的平方。”这种简洁的用词使表述更为精炼，而且这种数学表达式具有重要的意义，因为它的确是言简意赅。还有，由于这种惜墨如金的做法，任何数学文献的读者有时会发现自己的耐心受到了极大的考验。
数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言。数学更主要的是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说;满足了人类探索宇宙的好奇心和对美妙音乐的冥想;甚至可能有时以难以察觉到的方式但无可置疑地影响着现代历史的进程。
数学是一门知识体系，但是它却不包含任何真理。与之相反的观点却认为数学是无可辩驳的真理的汇集，认为数学就像是信仰《圣经》的教徒们从上帝那儿获得最后的启示录一样，这是一个难以消除的、流传甚广的谬论。直到1850年为止，甚至数学家们也赞同这种谬论。幸运的是，19世纪发生的一些数学事件(这些我们随后将进行讨论)向这些数学家表明，这种看法是错误的。在这门学科中没有真理，而且在它的一些分支中的定理与另外一些分支中的定理是矛盾的。例如，上个世纪创立的几何中所确定的一些定理，与欧几里得在他的几何学中所证明的定理就是矛盾的。尽管没有真理，数学却一直给予了人类征服自然的神奇的力量。解决人类思想史上这个最大的悖论将是我们所关注的课题之一。
由于20世纪必须将数学知识与真理区分开，因此也必须将数学与科学区分开，因为科学确在寻求关于物质世界的真理。然而数学却无疑地是科学的灯塔，而且还继续帮助科学获得在现代文明中所占的位置。我们甚至可以正确地宣称，正是由于有了数学，现代科学才取得了辉煌的成就。但是我们将会看到，这两个领域有着明显的区别。
在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，使得人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。在本书中，我们最为关心的将是这种精神的作用。
数学还有一个更加典型的特征与我们的论述密切相关。数学是一棵富有生命力的树，她随着文明的兴衰而荣枯。它从史前诞生之时起，就为自己的生存而斗争，这场斗争经历了史前的几个世纪 和随后有文字记载历史的几个世纪，最后终于在肥沃的希腊土壤中扎稳了生存的根基，并且在一个较短的时期里茁壮成长起来了。在这个时期，它绽出了一朵美丽的花——欧氏几何。其他的花蕾也 含苞欲放。如果你仔细观察，还可以看到三角和代数学的雏形;但是这些花朵随着希腊文明的衰亡而枯萎了，这棵树也沉睡了一千年之久。
这就是数学那时的状况。后来这棵树被移植到了欧洲本土，又一次很好地扎根在肥沃的土壤中。到公元1600年，她又获得了在古希腊顶峰时期曾有过的旺盛的生命力，而且准备开创史无前例的光辉灿烂的前景。如果我们将17世纪以前所了解的数学称为初等数学，那么我们能说，初等数学与从那以后创造出的数学相比是徽不足道的。事实上，一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。因为与普通的观点相反，现在应该说数学是从微积分开始，而不是以之为结束。在我们这个世纪，这门学科已具有非常广泛的内容，以致没有任何数学家能够宣称他已精通全部数学。
数学发展的这幅素描，尽管简略，但却表明数学的生命力正是根植于养育她的文明的社会生活之中。事实上，数学一直是文明和文化的重要组成部分，因此许多历史学家通过数学这面镜子，了解了古代其他主要文化的特征。以古典时期的古希腊文化为例，它大约从公元前600年延续到公元前300年。由于古希腊数学家强调严密的推理以及由此得出的结论，因此他们所关心的并不是这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。因此，看到这个时代具有很难为后世超越的优美文学，极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕刻，也就不足为奇了。
数学创造力的缺乏也表现在一个时代文明的文化里，这一点也是真实的。看看罗马的情况吧。在数学史上，罗马人在一定时期内曾作出过贡献，但从那以后他们就开始停滞不前了。阿基米德，最伟大的古希腊数学家和科学家，在公元前221年被突然闯入的罗马士兵杀害了，当时他正在研究画在沙盘中的几何图形。对此，A．N．怀特海(AlfredNorthWhitehead)说过：阿基米德死于一个罗马士兵之手，是一个世界发生头等重要变化的标志;爱好抽象科学、善长推理的古希腊在欧洲的霸主地位，被重实用的罗马取代了。洛德? 比肯斯菲尔德(LordBeaconsfield)，在他的一部小说中，曾把重实用的人称为是重复其先辈错误的人。罗马是一个伟大的民族，但是他们却由于只重实用而导致了创造性的缺乏。他们没有发展其祖先的知识，他们所有的进步都局限于工程技术的细枝末叶。他们并不是那种能够提出新观点的梦想家，这些新观点能给人以更好地主宰自然界的力量。没有一个罗马人因为沉湎于数学图形而丧命。
事实上，西塞罗(Cicero)夸耀自己的同胞——感谢上帝——不是像希腊人一样的梦想家，而是把他们的数学研究派上实际用场的人。
注重实用的罗马帝国，将其精力用于权术和征服外邦。为迎接军队胜利归来的拱形的凯旋门，也许是罗马帝国的最好象征，但它们不是显得得体优雅，而是显得毫无生气。罗马最突出的特征也许是麻木不仁，罗马人几乎没有真正的独创精神。简言之，罗马文化是外来的，罗马时期的大多数成就主要渊源于小亚细亚的希腊，此时小亚细亚的希腊正处于罗马政权统治之下。
这几个例子告诉我们，一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显。在不抹煞历史学家、经济学家、哲学家、作家、诗人、画家和政治家功绩的前提下，我们可以这样说：其他文明已经产生了在能力和成就方面同等的效果。另一方面，尽管欧几里得和阿基米德无疑地是极其卓越的思想家，尽管我们的数学家得以达到最高的水平，这仅仅是因为像牛顿所说的那样，他们是站在巨人的肩膀上。然而，正是在我们这个时代，数学才达到了它应该达到的范围，而且有着不同寻常的用途。这样，由于数学已经广泛地影响着现代生活和思想，今天的西方文明与以往任何历史上的文明都有着明显的区别。也许，在这本书中，我们会看到现在这个时代是如何受惠于数学的。
第2个回答 2008-11-20
初中版
一、课内重视听讲，课后及时复习。
新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，庆尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。
二、适当多做题，养成良好的解题习惯。
要想学好数学，多做题目是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。
三、调整心态，正确对待考试。
首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。
在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分；对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。
由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。
高中版
良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中数学知识系统。高一数学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，它融汇在整个高中数学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。高考题中与函数思想方法有关的习题占整个试题的60%以上。
1、 有良好的学习兴趣
两千多年前孔子说过：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道它，了解它不如爱好它，爱好它不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，有兴趣才能产生爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数学学习中，我们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好数学，成为数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？
（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。
（2）听课中要配合老师讲课，满足感官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把老师对你的提问的评价，变为鞭策学习的动力。
（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。
（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？
（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角的概念、至交坐标系的产生、极坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能使对概念的理解切实可靠，在应用概念判断、推理时会准确。
2、 建立良好的学习数学习惯。
习惯是经过重复练习而巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自己学习感到有序而轻松。高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在学习数学的过程中，要把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还要保证每天有一定的自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。
3、 有意识培养自己的各方面能力
数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别是，教师为了培养这些能力，会精心设计“智力课”和“智力问题”比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为数学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自己各方面能力的全面发展。
四、其它注意事项
1、注意化归转化思想学习。
人们学习过程就是用掌握的知识去理解、解决未知知识。数学学习过程都是用旧知识引出和解决新问题，当新的知识掌握后再利用它去解决更新知识。初中知识是基础，如果能把新知识用旧知识解答，你就有了化归转化思想了。可见，学习就是不断地化归转化，不断地继承和发展更新旧知识。
2、学会数学教材的数学思想方法。
数学教材是采用蕴含披露的方式将数学思想溶于数学知识体系中，因此，适时对数学思想作出归纳、概括是十分必要的。概括数学思想一般可分为两步进行：一是揭示数学思想内容规律，即将数学对象其具有的属性或关系抽取出来，二是明确数学思想方法知识的联系，抽取解决全体的框架。实施这两步的措施可在课堂的听讲和课外的自学中进行。
课堂学习是数学学习的主战场。课堂中教师通过讲解、分解教材中的数学思想和进行数学技能地训练，使高中学生学习所得到丰富的数学知识，教师组织的科研活动，使教材中的数学概念、定理、原理得到最大程度的理解、挖掘。如初中学习的相反数概念教学中，教师的课堂教学往往有以下理解：①从定义角度求3、-5的相反数，相反数是 的数是_____.②从数轴角度理解：什么样的两点表示数是互为相反数的。（关于原点对称的点）③从绝对值角度理解：绝对值_______的两个数是互为相反数的。④相加为零的两个数互为相反数吗？这些不同角度的教学会开阔学生思维，提高思维品质。望同学们把握好课堂这个学习的主战场。
五、学数学的几个建议。
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。
2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；解答问题完整、推理严密。
3、记忆数学规律和数学小结论。
4、与同学建立好关系，争做“小老师”，形成数学学习“互助组”。
5、争做数学课外题，加大自学力度。
6、反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会总结归类。可：①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类
第3个回答 2008-11-16
怎样才能做一名好教师？这是一个大众话题。政府官员、专家学者、百姓和社会舆论都对教师表达了种种希望，教师们自身也在进行反思。然而，却很少有人关心少年儿童——我们教育工作的服务对象，他们究竟想要什么样的教师。事实上，教师职业因他们而存在，教师职业因他们而崇高。那么，孩子心目中的好老师究竟是什么样的？让我们来倾听儿童的心声——
教室的四周挂满了儿童画，天真的孩子们指着自己的一幅幅图画，讲述着一个又一个感人至深的故事。在场的教师们满含热泪，一边听、一边记，一边反思自己的教育教学行为。这种崭新的培训方式，这种跟孩子间心与心的交流，对教师来说还是头一次。
前不久，北京教育科学研究院《班主任》杂志在全国范围内组织了“儿童心目中的好老师”征文征画活动，共收到来自全国20多个省市3000名同学的作品，每一幅作品，都是儿童内心世界的真实写照，是儿童情感的自然抒发。儿童渴望什么样的教育？儿童喜欢什么样的老师？3000幅儿童画把他们内心的梦想表现得淋漓尽致，3000幅儿童画是对师德的一次前所未有的检验，每一位教育工作者在这些儿童画面前都不会保持沉默。为了让更多的老师了解孩子的心声，北京市教科院将这些征文征画作为教师培训的极好教材，在全国各地开展了多次教师培训，引起强烈的反响。
孩子渴望什么样的教育
这一幅幅稚嫩的儿童画和征文，带给我们怎样的启示呢？请看江苏省启东实验小学学生瑞的话：
我喜欢老师的8个理由：
1.我们班设立了图书角，每个同学带2本课外书，沈老师却带来了6本，大家都爱看。
2.春游时，我把食品弄丢了，沈老师送给我一袋面包、两瓶酸奶，其实她自己带得也不多。
3.上次语文考试，我只得了85分，很伤心，沈老师借给我5分，让我下次考试还给她。
4.沈老师买了一个漂亮的转笔机摆在教室的书橱里，我们再也不用担心忘记削铅笔了。
5.上星期，我不小心打碎了沈老师的红墨水瓶，同学们都怪我。我哭了，沈老师知道后，没有批评我，反而安慰我。
6.沈老师每天和我们一起背古诗。古诗文擂台赛时，她得了第一名。
7.生水痘了，我一个人在家，很孤单。 沈老师带了水果来看我，还给我补课。
8.大扫除时，沈老师不让我们擦天窗，她怕我们摔着，自己擦了所有的天窗，累得满头大汗。
看了孩子写的话，沈虹霞老师激动地说，这是怎样的一份情愫呢？我再也抑制不住泪水潸然，早已淡忘的小事，孩子却记得如此清晰，我该如何守住那份喜欢，那份源自内心的真诚呢？
江苏省赣榆县城西镇第二小学孙运芳写出了好老师的十条标准：
1.老师不能偏向女孩子。
2.下课铃一响，就让我们出去玩。
3.春游上哪去先问问学生。
4.学生犯了错请家长，学生干了好事也应该跟家长说一说。
5.能跟学生聊天。
6.老师要知道学生喜欢什么不喜欢什么。
7.老师应当注意自己的外表。
8.老师应当控制自己的情绪。
9.学生参加各种比赛，老师应该在场鼓励加油。
10.课间十分钟应该看看学生爱玩什么。
内蒙古一位学生阐述了他喜欢老师的理由：“我们老师讲课声音抑扬顿挫，准确、生动、深刻，情感真实动人，好像这些事她都亲自经历过一样，我们都喜欢听她的课。”
兰州市万里小学四年级李欣彦同学这样表达她对教师的渴望：“我心目中的好老师应当是一位知识渊博而又有心胸的人。我不注重她的衣着是否华丽、精美，更不注重她的长相是否漂亮，只希望她能认真讲课，一丝不苟地对学生们负责。”
浙江省上虞市梁湖镇江山小学李箐同学很喜欢他的老师，“她说着一口流利的普通话。对后进同学不讽刺、不挖苦、不放弃。”
江苏省铜山县张家集中心小学黄天同学开心地写道，“您给我们上课的时候，会把一个人的错误讲成笑话，我们觉得您很幽默。”“希望您能成为我们的大朋友，除了上课，还能和您说一说我们的苦恼，而且您还能给我们保密。”
当然，在这些画和征文中，不仅仅有对教师的赞美，也有对教师的批评。在另一组征文里，同学们讲述了他们的亲身体验，委婉地表达了对教师的不满。
“老师总拿好学生作参照：你看看人家某某同学考得多好。”
“老师总是当着同学的面批评我们，其实，完全可以私下辅导我们一下。”
“你就是死猫扶不上树。”“有的学生上课打瞌睡，教师用粉笔头不客气地打过去。”
“一次下课了，班长喊起立，几个学生不起立，老师很生气，让我们重新起立，还有几个同学不起立，结果，我们被罚坐了两个小时。放学后，我们把没有起立的同学揍了一顿。”
同学们的话语使老师们惭愧极了，他们看到了自己人文素养的缺失，深深为自己不经意间给同学们造成的心理伤害而愧疚。他们深切地体会到，儿童渴望老师维护他们的自尊，关心他们的情感需求，给他们自我表达的自由。对学生公平对待、充满爱心和友善的老师是孩子们梦寐以求的好老师。
和大量感人至深的征文相比，儿童用自己心灵画出的画更是催人泪下。有一位13岁的聋哑女孩画了一幅《老师教我学说话》。一位耐心慈爱的教师认真地用自己的口型示范发音，女孩则努着小嘴努力地模仿，画面是那样地真切自然；更让我们感动的是女孩用一只纤细的小手轻轻地抚摸着老师的喉结——她正在感受老师发音的震颤。这情景不禁让人感慨“世界上只有一种教育，就是爱的教育”。
在一幅老师和学生做游戏的画下面，学生写下了这样一句话：“她和我们一起玩，一起学习，她把自己也当成了一名同学”。山东省博兴县第一小学贾乐成同学的画简直就是活脱脱的儿童课程观，画中的教师左手托着知识，右手托着天平，一男一女两个同学端坐在天平的两端，老师的身旁还放着计算机、竖笛、地球仪、篮球等儿童心仪的物品。不仅如此，老师的胸前还画着一片湛蓝的海，象征着博大宽广的胸怀，他绽开的笑脸上被别出心裁地画上了一只眼睛，仿佛是灿烂的太阳。
学生的画和文章，让老师们大吃一惊：“根本没想到学生会有那么多的想法。”
从学生的眼中看自己，在教师们看来是教育生涯中令人称奇的事，他们在心灵震撼之余开始对自己的教育方式进行反思。许多老师感慨道：这些拙朴却又真切的图画和文字，带给我们以强烈的冲击。没有想到孩子们的思维竟然会这么活跃、这么深刻、这么富有创造性。一位教师看过这些画和文章后说，“我原来一直以为自己是一个优秀的教师，但是和孩子们的要求一比，才发现自己还有很大距离！”
孩子们的话使教师们震惊了，他们说，过去我们总说是“为了学生好”，因此有时不注意方法，甚至简单粗暴，而学生特别在意教师的方式方法。教师与学生的接触，应当是心与心的接触，心与心的沟通，是心灵与心灵的对话。教师要了解学生的内心需求，特别要关注细节，因为细节带给孩子的影响是久远的、深刻的，学校每天的生活就是由无数个细节组成。因此，我们应当关注细节，研究细节，让学生在细节中感受教育的魅力。学生在这无数个细节中成长，有时也是在一个个细节中受到压抑、打击。
孩子们的发言让人感到心里热乎乎的。来自北京市宣武区的教师说，孩子们用自己的画笔，表达了他们期盼好老师的心声，描绘出他们憧憬好学校的意愿。看了这些画之后，真想流泪，它对我们教育工作者是一次心灵的震撼，教师应当发自内心地爱每一个孩子。
安徽的一位教师说：“学生一次没考好，我们就另眼相待，几次考不好，我们就将他定格为差生。学生的画让我们看到了自身人文素养的缺失，学生不仅需要老师给他们以知识，还需要给他们以人文关怀，需要平等、尊重、信任、理解，特别需要情感上的包容、关怀，满足他们的不同需求。这些画表达了儿童最响亮的声音：好老师带给儿童的不仅仅是教科书规定的知识与技能。其实，儿童更看重的是老师对他们的真诚关爱以及由此而获得的情感体验、发展的经历。”
对此，教师们深有感触地说，教师要想走进孩子的内心世界，必须让孩子喜欢自己，他们喜欢有丰富阅历和广博知识的教师，这是我们今后的努力方向。
来自安徽的一位校长说，我们感谢孩子，他们让我们重新认识自己。虽然我们每天接触孩子、面对孩子，但并不真正了解孩子，这些画帮助我们真正走近孩子，了解孩子，重新审视教育的问题。这些画面令人深思，我们花了那么多的时间和精力，毋庸置疑是想给孩子营造发展的空间，但需要我们反思的是，当我们做这一切的时候，是不是以儿童的视角、从儿童的需要出发？反思我们今天的教育，我们应该怎样尊重学生？
一些教育专家也发表了同样的看法。他们说，这些画是一面镜子，照出了我们教育教学中的问题。教育要满足儿童的需求，那么，儿童的需求是什么呢？其实老师有时并不了解，而是凭经验，凭想当然。每一个学生就像是一个世界，儿童作为活生生的人都有需要尊重、接纳的内心要求。要做一名学生心目中的好教师，首先要了解学生，要学会“换位思考”，要设身处地地体察儿童的内心需求，要学会站在学生的角度考虑问题、考虑学生的内心感受。因此，教师的专业修养离不开“儿童教育观”，即把儿童的视角和情感需求纳入教育过程，以儿童愉悦的学习方式设计和组织教学。
以儿童的视角思考教育问题
对于这项活动的意义，多年从事教师教育工作的管理者和专家阐述了他们的看法。教育部师范司司长管培俊提出，希望这些直观、拙朴而真切的图画和文字，引发广大教师积极的反思，带给广大教师深刻有益的启迪，帮助广大教师塑造新的形象，以宽广的胸怀关爱学生，以高尚的人格熏陶学生，以渊博的知识丰富学生，以文明的举止引导学生，以现代教师的风采感染学生。
北京教育科学研究院副院长张铁道认为，长期以来，我们的教育漠视儿童的感受，总是“应该怎么样”、“不该怎么样”，却很少考虑儿童的感受、体验和需要。过去，我们谈论教育、谈论教师，都是由教育专家谈、上级领导谈、教育科研人员谈或者教师自己谈，唯独没有儿童的声音。好像孩子说不出什么，因而没有必要让他们谈。在我们的潜意识里，常常把学生假设成没有情感需求的知识容器，给什么，他就接受什么，不需要选择，也没有能力倾诉，他们只要被动地接受、服从就行了。在教育的过程中，儿童并没有发言权，他们只是被动地接受。许多时候，我们强调满足儿童的需求，可我们并不了解儿童，儿童究竟喜欢什么样的学校，喜欢什么样的老师，被我们严重地忽略了。
清华大学教育科学研究所副所长史静寰谈了自己的看法：平时，在学校里，一些教师工作能力强，所带班级成绩好，被评为优秀教师、骨干教师，而学生眼中的好老师并不是这样的。我们自己认为的好老师，与学生期待的好老师有时是不一致的。其实，对于教师的许多做法，学生都有他自己的想法，比如，“对于基础知识，老师总要求我们在课下掌握，而课下又发给我们大量练习题，我们哪有那么多的课下？”“做的题不少，就是没有看书的时间，没有想的时间，全是机器般地做题，不去思考，下次做题仍不会。”
史静寰老师举例说，某地有一所小学和初中混合校，领导认为难管理，比如做操，混在一起，太乱，不整齐；老师也认为小学、初中混在一起不好，秩序乱，不好管理。
而史老师问：发生过冲突吗？他们回答：“没有。初中生知道照顾小学生。”“我们学校条件好，其他学校都是小学和初中分开的，我们一起讨论教学、备课，很开眼。还去初中听课，感觉很有收获，这几年听得少了，教师不能自己听初中的课，希望学校组织，这样有助于小、初过渡。”
课间操后，与一群二年级的小学生交谈：
问：你们喜欢这所学校吗？答：喜欢，我姐姐也在这所学校，上初中。
问：你姐姐也喜欢这所学校吗？答：喜欢，我还没上学，她就和我说起过。
另一学生说：我见过她姐姐，还和她姐姐说过话呢。史老师说，可见，这种小学、初中的混合校，学生很喜欢。
通常，我们习惯于从成人的视角安排、实施教与学活动，而漠视了学生的需求。福建东山县后林小学李育生老师讲了一件很有意思的事：有一次到一所学校听课，被那精美的“教学长廊”所吸引，信步走过去，这个教学长廊比我还高。“这么高，孩子看得见吗？”我请来一位学生，让他也看看，只见他仰起头，很费力地看着。我问他觉得怎么样，他告诉我看不清楚。孩子的一席话，引起了我的思考，我们的布置是要给孩子看的，可他们却看不到。而到另一所以美术教育闻名的学校参观时发现，在该校的走廊和教室的墙上，到处挂着世界名画和学生创作的美术作品。然而与其他学校迥然相异的是，这些画都挂得很低，有些居然低到成人腰部的位置。校长解释说：“对于大人来讲，是吃力些，但对于儿童而言，却正好呀。”这就是一种育人的理念，它企求一种深切的慰贴，那就是站在儿童的高度，与学生的眼光平等地对视，平等地交流。
北京教育学院教授季平举例说，有一次，她去一所学校，发现学校建得很美，常常有外人来参观学习。然而，就是这样一所美丽的学校，在学生的心目中是怎样的呢？请听听学生怎么说。她问学生：“你喜欢这所学校吗？”
“不喜欢。”学生回答。“为什么？”季平接着问。“没地方玩。”“教室太拥挤，东西没地方放。”“上厕所要走很远的路。”学生的回答令人深思——我们该如何满足儿童的需要？我们该如何以儿童的视角审视学校的教育教学行为？
3000幅儿童画带给人们的思考是深刻的，长久的。作为教师、作为学校、作为社会，对于我们的孩子究竟了解多少？儿童是教育事业的服务对象，他们的学习需求与学习体验的满足程度，是判断教育成效的一项重要指标，也是评价教师专业素质的根本尺度。满足儿童的学习需求，不仅要提供科学的知识，应用的技能，还应以人文关怀满足他们的情感需求。儿童作为活生生的人，都有被尊重、接纳的内心需求，所以，教师要体察儿童的情感需要，实施适合他们需求的教学，教师的专业化应兼具科学和人文的品质。
【新闻背景】
1995年，联合国教科文组织在世界范围内进行了一次国际儿童书画大赛，邀请8￣12岁的在校生，凭他们的自然感受，用文字或图画的方式回答“怎样才是一位好教师？”此次活动共收到来自50个国家的500多名儿童用自己的童心完成的作品。一幅幅充满童真的图画，一句句洋溢爱心的话语，情真意切，感人至深，说尽了孩子们内心蕴藏的对好老师的热切期盼，展现了他们渴望老师关爱的内心世界。来自墨西哥的11岁的扎依拉小朋友，借用珍贵如油的春雨撒向干裂荒漠的画面，赞誉老师对于学生就如同滋养土地的雨水。新西兰的9岁的小罗丝满怀希冀地对老师说：“你待人和善友好，充满信任。你应当倾听我们的心里话，了解我们每个人，千万不要发脾气、不理睬我们。”来自葡萄牙只有10岁的小朋友卡特丽娜写道：“一个好教师不仅是上课，更为重要的是，她带给我们新的思想，帮我们明白很多事情，她能使教室成为乐园，而不是监狱。”
第4个回答 2008-11-16
1.课上重听,课后复习;举一反三,连带从前,增强记忆.
2.代数是美女,几何是帅哥,函数是人民币_数学不是数者数去学,学者要心中有数数
3.良好的氛围,包括学生之间\师生之间的和谐\宽容\鼓励能使你们很主动地去理解课程