定积分的图像所表示的面积如果一部分在x轴上面,即可以表示为A1=∫f(x)dx,其中f(x)为在x轴上方的图像面积;而且f(x)>0,所以算得A1>0。
定积分的图像所表示的面积如果一部分在x轴下面,即可以表示为A2=∫f(x)dx,其中f(x)为在x轴下方的图像面积;而且f(x)<0,所以算得A2<0。可以知道A2为负值。
如果定积分的图像所围成的面积两部分都存在,所以总面积为A=A1+A2,A2为负值。
定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形,特例是曲边三角形。
扩展资料:
定积分的性质
1、常数可以提到积分号前。
2、代数和的积分等于积分的代数和。
3、定积分的可加性:如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
4、如果在区间[a,b]上,f(x)≥0,则
参考资料来源:百度百科-定积分
例如函数y1=7-5x^2与y2=x^2-x-2围成的区域面积
主要内容:
本文主要通过微积分定积分的知识,介绍二次函数y1=7-5x^2与y2=x^2-x-2围成的区域面积的主要计算步骤和过程。
主要步骤:
※.先求出两函数的交点。
联立方程y1和y2,求出二者的交点。
7-5x^2=x^2-x-2
6x^2-x-9=0,由二次方程的求根公式得:
x1=(1-√217)/12,
x2= (1+√217)/12,
则x2-x1=√217/6,
并由韦达定理得:
x1+x2=1/6,
x1*x2=-3/2。
※.定积分求面积。
S=∫[x1,x2](y1-y2)dx
=∫[x1,x2][7-5x^2-(x^2-x-2)]dx
=∫[x1,x2](7-5x^2-x^2+x+2)dx
=∫[x1,x2](-6x^2+x+9)dx
=(-2/1)x^3+(1/2)x^2+9x[x1,x2]
=(-2/1)(x2^3-x1^3)+(1/2)(x2^2-x1^2)+9(x2-x1)
利用立方差和平方和因式分解,进一步化简得:
S=(-2/1)(x2-x1)(x^2+x1x2+x1^2)+(1/2)(x2-x1)(x2+x1)+9(x2-x1)
=(x2-x1){ (-2/1)[(x1+x2)^2-x1x2]+(1/2)*(1/6)+9}
=√217/6*{ (-2/1)[(1/6)^2+3/2]+(1/2)*1/6+9}
=√217/6*(36/217)
=6√217/217。