复合函数求导公式如何使用？

Question

如题所述

Answer 1

复合函数求导公式，也称为链式法则，是微积分中用于求解复合函数导数的一种方法。复合函数是指一个函数的自变量本身就是另一个函数的函数值，即函数的嵌套。链式法则是应用微分学基本定理的一个重要结果，它允许我们将复合函数的导数分解为其内部函数和外部函数的导数的乘积。
设有两个函数 f(x) 和 g(x)，且函数 g 在 x 处可导，函数 f 在 g(x) 处可导，那么对于复合函数 (f∘g)(x) = f(g(x))，其导数可以通过链式法则求得：
(f∘g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)
这个公式说明，复合函数 (f∘g)(x) 在 x 处的导数等于外部函数 f 在 g(x) 处的导数与内部函数 g 在 x 处的导数的乘积。
使用链式法则的步骤如下：
确定复合函数的结构，分辨出内层函数和外层函数。
分别求出内层函数和外层函数的导数。
将外层函数在内层函数值处的导数与内层函数的导数相乘。
举例来说，如果我们有复合函数 h(x) = (3x^2 + 2)^5，我们可以看出外层函数是 u^5，内层函数是 u = 3x^2 + 2。我们先对外层函数 u^5 求导得到 5u^4，然后乘以内层函数 3x^2 + 2 的导数，即 3 * 2x = 6x。所以，h(x) 的导数为：
h'(x) = 5(3x^2 + 2)^4 * 6x = 30x(3x^2 + 2)^4
在使用链式法则时，需要注意以下几点：
确保内外两个函数都在各自对应的点上可导。
当函数嵌套多层时，需要逐层应用链式法则。
如果内层函数的值是一个向量或矩阵，则其导数可能是一个雅可比矩阵（对于多变量函数）。
链式法则不仅适用于由两个函数构成的复合函数，也可以推广到多个函数的复合，比如 f(g(h(x))) 的形式。此时，我们需要连续应用链式法则，先计算最内层函数的导数，然后依次向外计算。
链式法则的应用非常广泛，它在物理学、工程学、经济学和其他许多科学领域中都有重要作用。通过链式法则，我们可以解决那些直接求解较为复杂的函数导数问题，使得复杂问题的求解变得简单化。