已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+1)为奇函数，f(0)=0，当x∈(0,1]时，f(x)=log2x,则在(8,10)

Question

如题所述

Answer 1

本题可读性差，分以下几点处理：
1）f(1)=log2(1)=0
2) 因为f(x+1)是奇函数，所以
f(-x+1)= - f(x+1),这是图象关于（1，0）点对称的抽象条件；
3）由2）得：f(-x+1)= - f(x+1),而f(x)是偶函数，所以f(-x+1)=f(x-1),代入上式得：
f(x-1) = - f(x+1) , 即
f(x+1)= - f(x-1), 把左右的x都换成 x+2得：
f(x+3)= - f(x+1) = - [ - f(x-1) ]=f(x-1)
f(x+4)=f(x)，所以f(x)是周期为4 的周期函数；
4）证明：f(x)在(1,2]上大于零；
当1<x≤2 ; -2≤-x<- 1 , 0≤2-x<1
f(2-x)=log2(2-x)<0, 因为函数f(x)是关于（1，0）点对称的，所以
f(2-x)= - f(x)f(x)>0
5)当8<x≤9时，0<x-8≤1,f(x-8)=log2(x-8),
因为函数的周期为8，所以f(x)=f(x-8)=log2(x-8)
方程f(x)+1=f(1)可化为：
f(x)=-1,在f(x)=log2(x-8)中令f(x)=-1得：
log2(x-8)= - 1 ==>x=8+1/2=17/2
6)当9<x<10时，1<x-8<2,
由4）知：f(x-8)>0
f(x)=f(x-8)>0
所以f(x)= - 1无解：
综合可知；
当x∈(0,1]时，f(x)=log2x,则在(8,10) 内满足方程f(x)+1=f(1)的实数x=17/2