怎么求矩阵的特征值？特征值的和是什么？

Question

如题所述

Answer 1

求矩阵的特征值是矩阵代数中的一个重要任务。具体来说，给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v和实数lambda，使得Av=lambda v成立，那么我们就称lambda为矩阵A的特征值，v为对应于特征值lambda的特征向量。

求矩阵特征值的常用方法有：
定义法：直接根据特征值的定义进行计算。如果Av=lambda v，那么lambda就是A的特征值。但这种方法对于复杂矩阵来说可能不太实用，因为需要解决复杂的线性方程组。
幂法：通过不断计算矩阵A的幂来逼近特征值。具体来说，设lambda是A的一个特征值，v是对应于lambda的特征向量，那么Av=lambda v。如果我们将v的初始值设为A的任意一个非零向量，那么随着计算的进行，Av将越来越接近于lambda v。这种方法在实践中更为常用，因为它可以快速地找到矩阵的特征值。
对角化法：如果矩阵A可以对角化，那么它的特征值就是对角线上的元素。因此，我们可以试图找到一个可逆矩阵P，使得P-1AP是对角矩阵，然后直接读取对角线上的元素作为特征值。
至于特征值的和，对于一个给定的矩阵A，其所有特征值的和等于矩阵的迹（即对角线元素的总和）。这个性质在矩阵代数中是非常重要的，它可以帮助我们快速地找到矩阵的特征值之和，而无需对每个特征值进行单独的计算。
需要注意的是，以上都是针对实数矩阵的情况。对于复数矩阵，特征值的求法和性质会有所不同。例如，对于复数矩阵，其特征值可能是复数，而不仅仅是实数。此外，复数矩阵的特征向量也可能更为复杂，需要使用更复杂的线性方程组来求解。