数学：关于概率论中“概率密度函数”的理解。

Question

概率密度是用于描叙连续随机变量的统计规律的，我知道概率密度的积分就是分布函数，如果概率密度是一元函数，那面积就表示P{X<x}，如果概率密度是二元函数，那体积就表示P{X<x,Y<y}。可是学生我一直不理解概率密度本身表示什么，课本上说与物理上的线密度有关，故名。可是我是学经济的，线密度已经超出我的知识范围，不懂。希望诸位能不从物理上帮我解释一下，概率密度可以理解为某值x出现的频率吗？最大值是否就表明该值x最可能发生。那么，这个值应该才是我们“期望”的，而期望为什么我们不经常用“均值”来描述它，难道我们做随机试验希望得到的不是最大值，而是均值吗？

Answer 1

从物理上帮我解释一下，概率密度可以理解为某值x出现的频率吗？
可以这样理解但是习惯上不这么说,举个例子:有一个数字x在0～1之间满足均匀分布规律,那么x取0～1之间的任意数字的概率实际上都是0.对应着任意点的长度与线段长度的比值都是0.
习惯上说成:若概率密度为ρ(x)则表示在区间x～x+dx之间的可能性为ρ(x)dx,其中dx为无限小的宽度.

最大值是否就表明该值x最可能发生?
正确.习惯说法是:若概率密度ρ(x0)取最大值,说明在区间x0～x0+dx之间的可能性比在其它区间x～x+dx之间的可能性要大,其中dx为无限小的宽度.

那么，这个值应该才是我们“期望”的?
可能是你期望的,未必是我们期望的,呵呵.

而期望为什么我们不经常用“均值”来描述它，难道我们做随机试验希望得到的不是最大值，而是均值吗？
期望的最初意义出现在概率论初期,概率论起源于赌博.赌博时每个人都有自己的期望.举个例子:我的掷色子的能力强,赢的概率为0.5,你的能力较弱,赢的概率为0.3,他的能力更弱,赢的概率为0.2,现在赌桌上共有100注.结果不巧警察来了(希望你谅解:在中国,赌博是违法的),于是大家中途停止赌博.那么100注如何分才合适呢?大家都期望自己分到较多一点.综合各人想法就有了概率中期望的概念.

Answer 2

概率密度，体现的是分布的变化率， 连续随机变量的 每一点处的概率 都是0，所以不是概率的变化，而是分布的变化。

Answer 3

就是概率的密度呀
对已一元的连续型随机变量 表示的是概率的“线密度”，即单位长度上的概率
对于二元的连续型随机向量 表示的是概率的“面密度”，即单位面积上的概率

概率密度是 非负的 但是可能会大于 1 ！ 因为积分区域的长度或者面积是有可能小于1的，这点要特别注意，可也跟物理中物体的质量作类比
比如说一根线 的密度是 2 但是长度为0.5 那么他的质量是1

连续型随机变量还有一个性质是 P{X=x}=0 因为在一点处的长度是0（也就是说事件{X=x}未必是不可能事件，在这里表示可能性无限小）

Answer 4

连续型随机变量的确切定义应该是:分布函数为连续函数的随机变量称为连续型随机变量。其含义不是随机变量的取值范围具有连续性，而是其取值的概率具有连续性。连续型随机变量往往通过其概率密度函数进行直观地描述，连续型随机变量的概率密度函数f（x）具有如下性质

这里指的是一维连续随机变量，多维连续变量也类似。
随机数据的概率密度函数:表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率，因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。

可以这样理解但是习惯上不这么说,举个例子:有一个数字x在0～1之间满足均匀分布规律,那么x取0～1之间的任意数字的概率实际上都是0.对应着任意点的长度与线段长度的比值都是0.
习惯上说成:若概率密度为ρ(x)则表示在区间x～x+dx之间的可能性为ρ(x)dx,其中dx为无限小的宽度.

最大值是否就表明该值x最可能发生?
正确.习惯说法是:若概率密度ρ(x0)取最大值,说明在区间x0～x0+dx之间的可能性比在其它区间x～x+dx之间的可能性要大,其中dx为无限小的宽度.