（2014?博白县模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC为直径的⊙O交AB于D，AC、DO的

Question

（2014?博白县模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，以BC为直径的⊙O交AB于D，AC、DO的延长线交于E，点M为线段AC上一点，且CM=4．（1）求证：直线DM是⊙O的切线；（2）求ED的长．

Answer 1

（1）证明：连结CD，
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10，
∴AC=8，
∵CM=4，
∴AM=4，
∴M是AC中点，
∵CD⊥AB，
∴DM=CM=AM，
∠MCD=∠MDC，∠OCD=∠ODC，
∴∠ODM=90°，
∴DM是⊙O的切线；

（2）解：∵DM是⊙O的切线，
∴ED⊥DM，
∴∠ECO=∠EDM，
又∵∠E=∠E，
∴△OCE∽△MDE，
∴

OC

MD

＝

EC

ED

＝

3

4

，
设EC=3x，ED=4x，则EM=3x+4，
EM²=ED²+DM²，
∴（3x+4）²=（4x）²+16，
解得：x＝

24

7

，
∴ED=4x=

96

7

．