f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)上可导，f(a)=f(b)=0,

Question

f(x)在[a，b]上连续且在(a，b)上可导，f(a)=f(b)=0,求证:至少存在一点ξ，f(ξ)+f'(ξ)=0

Answer 1

令g(x)=e^x*f(x)，则g(x)在[a,b]上连续且在(a,b)上可导
因为g(a)=g(b)=0，所以根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈(a,b)，使得g'(ξ)=0
e^ξ*f(ξ)+e^ξ*f'(ξ)=0
f(ξ)+f'(ξ)=0
证毕