所谓实数的连续性指的是,对于
实数集R的任意分割所产生的两个新数集A和B中,要么A有最大值,要么B有最小值.或者换句话说,分割的这一点要么属于A,要么属于B,不可能一个都不属于.
用确界原理证明连续性,不妨假设对实数的一组分割A/B中,A没有最大值,只要证明B有最小值就证明了连续性.当然你假设B中没有最小值,去证明A中一定有最大值也是可以的.
因为A是非空并且有上界的,B中每个元素都是A的上界,根据确界原理,A有
上确界.设上确界为ξ,显然ξ∉A,因为如果ξ∈A,那么ξ就是A中最大值,和前提矛盾.
现证明ξ是B中最小值.如果不是这样,不妨设B中存在一个数η<ξ,取ε=(ξ-η)/2>0,根据上确界的定义,ξ-ε=(ξ+η)/2不再是A的上界,也就是说A中存在某个数x,x>(ξ+η)/2.
而ξ>η,所以(ξ+η)/2>(η+η)/2=η,综上,在A中就有一个数x>η,所以η∈A,和假设"B中存在一个数η<ξ"矛盾.所以ξ一定是B中的最小值.
这样就证明了实数的连续性.