泰勒公式怎么算？

Question

如题所述

Answer 1

泰勒展开式常用公式是f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n。

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。常用公式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！］(x-a)^2+……＋[f(n)(a)/n！］(a)(x-a)^n。

在高等数学的理论研究及应用实践中，泰勒公式有着十分重要的应用，简单归纳如下：

(1)应用泰勒中值定理（泰勒公式）可以证明中值等式或不等式命题。

(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。

(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。

(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。

(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。

Answer 2

泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数.
运用麦克劳林展开可以得到一些常用的泰勒展开式
ex=1+x+x22!+⋯+xnn!+eθx(n+1)!xn+1sin⁡x=x−x33!+x55!−⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!+o(x2n+2)cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯+(−1)nx2n(2n)!+o(x2n)ln⁡(1+x)=x−x22+x33−⋯+(−1)nxn+1n+1+o(xn+1)11−x=1+x+x2+⋯+xn+o(xn)\begin{array}{l} {e^x} = 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \cdots + \frac{{{x^n}}}{{n!}} + \frac{{{e^{\theta x}}}}{{(n + 1)!}}{x^{n + 1}}\\ \sin x = x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - \cdots + {( - 1)^n}\frac{{{x^{2n + 1}}}}{{(2n + 1)!}} + o({x^{2n + 2}})\\ \cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - \frac{{{x^6}}}{{6!}} + \cdots + {( - 1)^n}\frac{{{x^{2n}}}}{{(2n)!}} + o({x^{2n}})\\ \ln (1 + x) = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{3} - \cdots + {( - 1)^n}\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + o({x^{n + 1}})\\ \frac{1}{{1 - x}} = 1 + x + {x^2} + \cdots + {x^n} + o({x^n}) \end{array}
e
x
=1+x+
2!
x
2

​
+⋯+
n!
x
n

​
+
(n+1)!
e
θx

​
x
n+1

sinx=x−
3!
x
3

​
+
5!
x
5

​
−⋯+(−1)
n

(2n+1)!
x
2n+1

​
+o(x
2n+2
)
cosx=1−
2!
x
2

​
+
4!
x
4

​
−
6!
x
6

​
+⋯+(−1)
n

(2n)!
x
2n

​
+o(x
2n
)
ln(1+x)=x−
2
x
2

​
+
3
x
3

​
−⋯+(−1)
n

n+1
x
n+1

​
+o(x
n+1
)
1−x
1
​
=1+x+x
2
+⋯+x
n
+o(x
n
)
​

推导过程
第一步

我们知道f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+αf(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\alphaf(x)=f(x
0
​
)+f
′
(x
0
​
)(x−x
0
​
)+α，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式：p(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)np(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^np(x)=a
0
​
+a
1
​
(x−x
0
​
)+a
2
​
(x−x
0
​
)
2
+⋯+a
n
​
(x−x
0
​
)
n

来近似表达函数f(x)f(x)f(x)