如何用初等数学证明高等数学的结论?

Question

如题所述

Answer 1

证明如下：

数列Xn有极限a，则

对于任意给出的一个正数ε，都存在一个正整数N，使得n>N时。

|Xn-a|<ε成立。

又||Xn|-|a||<|Xn-ua<ε。

所以对于任意给出的一个正数ε，都存在一个正整数N，使得n>N时。

||Xn|-|a||<ε成立。

即|Xn|的极限趋于|ua。

得证。

解题方法：

法一：

本题也算是众多∞-∞型题里比较经典的一个，尤其是第三步用平方差公式再用等价无穷小替换的巧妙使得计算量大大缩减，其实本也可以使用洛必达法则一直洛下去。

法二：

这种方法并不推荐使用，为什么，从命题人的出发角度，他出这道题的意愿大概率并不是让你一直无脑的用洛必达，虽然洛必达法则很强大，这样的话就没区分度了。