期望和积分是数学中非常重要的概念，它们在概率论、统计学、工程学等领域都有着广泛的应用。
首先，期望是概率论中的一个基本概念，它表示随机变量的平均取值。期望可以用来描述随机现象的平均水平，例如掷一枚骰子的期望值为3.5，意味着平均每次掷骰子可以得到3.5点。期望还可以用来计算随机变量的方差、标准差等统计量，从而更好地了解随机现象的性质。
其次，积分是微积分中的一个重要概念，它表示函数在某个区间内的累积效果。积分可以用来计算面积、体积等几何量，例如计算一个圆的面积需要用到圆周率π和半径r的乘积再乘以圆心角的一半，这就是一个关于角度的积分。积分还可以用来求解微分方程、优化问题等实际问题，例如利用牛顿-莱布尼茨公式可以求解定积分的值。
此外，期望和积分还可以相互转换。根据期望的定义，有：E[X]=∫xf(x)dx，其中E[X]表示随机变量X的期望值，f(x)表示X的概率密度函数。这个公式表明，期望可以看作是概率密度函数在一个区间内的积分平均值。同样地，根据积分的定义，有：∫xf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)表示函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值。这个公式表明，积分可以看作是函数在一个区间内的变化总量。