微分就是微积分。
简单地说，古典微积分定义微分的初衷就是取近似之近似。数学家们发现，在许多问题上，假若完全考虑所有，就会带来无穷无尽的麻烦。
而取个误差为无穷小的近似值来代替，便可以省掉一大堆麻烦，并且结果还是误差为无穷小的近似值。既然这种近似值误差无限小，那么再取一个更为方便的它的近似值岂不是更妙？耶，这就是微分思想了。
为了确保近似之后再次近似不至于引起误差无限扩大的恐慌，他们通过一系列的计算后发现，可以自觉地保证这个近似值与原值的误差为自变量变化量的高阶无穷小，即给精度打个双层保险。最终他们的这些保证也得到了科学理论的保障。
当然，当时他们无法解决的唯一问题仅仅是“无穷小”是否为0的悖论问题罢了。而在计算的误差确认上，完全保证使用微分的最终结果误差仍为无穷小。
所以，不能说古典微分运算是错误的，它只是没能从理论上完美解释罢了。科学体系本来就是公理体系，是赖定义为生的体系。尚未有科学定义，不能说它就永远没有科学定义。这也就是贝克莱的哲学恐慌，他必须往死里捍卫他的“存在即被感知”——不能感知则无法确认存在。
最后，柯西创造了极限的科学定义，解决了无穷小没有科学定义的问题，也解决了古典微积分的理论缺陷。同时，他并非抨击了贝克莱的“存在即被感知”，而是迎合了贝克莱的哲学观点，“你欲感知无穷小我便让你感知，无穷小的终点状态的唯一最近似值是常数0”。
但是柯西的极限理论同样需要实数理论来完善，多年后实数理论终于也获得了科学定义。
所以，不能因为没有极限理论就说古典微积分的运算是错误的。倘若如此，那么极限理论在实数理论出现之前岂非也是错误的？如此一来，即使有了极限理论支撑，微积分理论岂非仍然是错误的？
科学体系无法推倒重来，它永远都是人们用智慧去不断完善和发展丰富。因为不能推倒重来，所以只要是不和现在的科学体系矛盾的东西，我们都不能说它们是错的，而应当说当时的科学体系还不足以解释罢了。