线性代数（正定矩阵）

Question

如题所述

Answer 1

正定矩阵的定义是，对于非零向量x，其对应的二次型f(x)的结果必须大于零。例如，当x不等于零时，f(x) > 0，这表明二次型是正定的。如果结果非负，即f(x) ≥ 0，那么这个二次型被称为半正定。例如，当x不等于零时，如果f(x) = 0，则它被称为半正定。正定矩阵的相反数称为负定矩阵，其结果总是小于零。如果结果非正，即f(x) ≤ 0，则称为半负定矩阵。例如，当x不等于零时，如果f(x) = 0，则它是半负定的。如果二次型无法确定其结果是正或负，即f(x) 无法判断，那么这个矩阵被称为不定矩阵。

顺序主子式是矩阵的一个概念，通过从矩阵中连续去除一行和一列来形成一系列子矩阵。这些子矩阵的行列式的值称为顺序主子式。例如，对于一阶子矩阵，顺序主子式等于该矩阵元素的值。对于二阶子矩阵，顺序主子式等于两个元素的行列式。通过求出所有可能的子矩阵的顺序主子式，并检查它们的符号，可以判断矩阵是否为正定矩阵。如果所有顺序主子式的值均为正，则矩阵为正定矩阵。反之，如果矩阵为正定，则所有顺序主子式均为正。此外，如果矩阵的所有特征值均为正，则矩阵也为正定矩阵。这是因为正定矩阵总是对称矩阵，其主对角线元素即为特征值。如果所有特征值正，则主对角线的系数全部正，从而可以证明当x不等于零时，f(x) 必定大于零。