已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c,若f(-1)=0,试判断函数f(x)零点个数

Question

如题所述

Answer 1

f(x)的零点就是方程f(x)=0的解。这样就为我们提供了一个通过函数性质确定方程的途径。函数的零点个数就决定了相应方程实数解的个数。
若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解。
一般结论：函数y=f（x）的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与x轴（直线x=0）焦点的横坐标，所以方程f(x)=0有实数根推出函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像与x轴有交点推出函数y=f(x)有零点。
更一般的结论：函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的实数根，也就是函数y=f(x)的图像与函数y=g(x)的图像交点的横坐标，这个结论很有用。
函数零点就是当发f（x）=0是对应的函数值，需要注意的是零点是一个点，而不是一个值，它是二维平面上的一个独立的点。
变号零点就是函数图像穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是异号（那个点函数值为零）
不变号零点就是函数图像不穿过那个点，也就是在那个点两侧取值是同号（那个点函数值为零）

Answer 2

f(-1)=0可以得出a-b+c=0即b=a+c
b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2>=0
当且仅当a=c时有一个零点，a不等于c时有两个零点。
关于高次方程根和零点的详细讨论，以及根的存在性，可以参考《数学分析》。

Answer 3

解：由题意知该二次函数
过点(-1，0),则方程可以写成f(x)=a(x+1)(x+c/a)
则若a=c则方程为f(x)=a(x+1)^2此时零点仅一个
若a不等于c则有两个零点。本回答被网友采纳