stokes公式是什么?

Question

如题所述

Answer 1

公式包含特殊符号，仅以图片进行表示：

当一个矢量场沿着一个闭合曲线积分时，其结果等于矢量场在该闭合曲线所围成的曲面上的通量。Stokes’s theorem建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量之间的关系。

设S \bm{S}S是光滑的有向曲面，S \bm{S}S的边界为有向闭曲线Γ \bm{\Gamma}Γ，且Γ \bm{\Gamma}Γ的方向与 S \bm{S}S 的方向侧符合右手螺旋定则。 函数P ( x , y , z ) P(x,y,z)P(x,y,z)、Q ( x , y , z ) Q(x,y,z)Q(x,y,z)、R ( x , y , z ) R(x,y,z)R(x,y,z)是定义在曲面S SS及其边界 Γ \GammaΓ上都具有一阶连续偏导数的函数。

结合引证来理解：

可以结合物理里场的概念，场在每个点上都有一个矢量，可以看成是坐标到矢量的多元函数。在场里绕一个小圈算积分，如果是保守场（比如静电场），积分永远是0，这样就可以定义势函数。

但如果不为0，说明场在这个圈里有绕圈的成分，这个成分用旋度来表示。旋度是有方向的，想象一个旋转的小圆盘，它的矢量方向用右手螺旋定则，逆时针转的小圈就是沿转轴往上，右手四手指握成旋转方向，拇指伸直就是旋度方向。

圈足够小、旋转角度足够小的时候，这个旋转矢量可以做分解和合成，那么我们可以求出xy、xy、yz三个平面里的旋转程度，就分别是矢量的三个分量了。

当圈足够小的时候，是圆圈还是正方形的圈就没有什么区别了，圈上的积分可以表示成相对两条边积分的差值，从而转为交叉的偏导数，只是由于方向问题，两个偏导数符号是反的。三个分量合起来，就可以得到旋度。可以用偏导算符矢量和原矢量的外积表示旋度。