因为A可对角化,所以(E-A)x=0就有两个线性无关解,即E-A的秩是1。
详解:
λE-A的零度就是λ的几何重数,如果A可对角化则几何重数等于代数重数。
问题里"λE-A的秩等于1"中的“1”是二重特征值。又因可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
推导过程:
A可对角化时,存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(a1,..,an)
则 R(A) = R(P^-1AP) = Rdiag(a1,...,an) = a1,...,an中非零元素的个数。
而A的特征值即 a1,...,an
所以 R(A) 等于A的非零特征值的个数。
综上所述:(E-A)x=0就有两个线性无关解,即E-A的秩是1。
扩展资料:
可对角化矩阵和映射在线性代数中有重要价值,因为对角矩阵特别容易处理: 它们的特征值和特征向量是已知的,并通过简单的提升对角元素到同样的幂来把一个矩阵提升为它的幂。
对于一个矩阵来说,不一定存在将其对角化的矩阵,但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量,则该矩阵可被对角化。
一个主对角线之外的元素皆为0的矩阵。对角线上的元素可以为0或其他值。在特征值和特征向量方面,矩阵与线性变换的理论是平行的,所得的结果对线性变换也成立。
若n阶矩阵A有n个不同的特征值,则A必能相似于对角矩阵。
说明:当A的特征方程有重根时,就不一定有n个线性无关的特征向量,从而未必能对角化。
参考资料来源:百度百科--可对角化矩阵
因为A可对角化,所以(E-A)x=0就有两个线性无关解,即E-A的秩是1。
详解:
λE-A的零度就是λ的几何重数,如果A可对角化则几何重数等于代数重数。
问题里"λE-A的秩等于1"中的“1”是二重特征值。又因可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数。
推导过程:
A可对角化时, 存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(a1,..,an)
则 R(A) = R(P^-1AP) = Rdiag(a1,...,an) = a1,...,an中非零元素的个数
而A的特征值即 a1,...,an
所以 R(A) 等于A的非零特征值的个数。
综上所述:(E-A)x=0就有两个线性无关解,即E-A的秩是1。
扩展资料:
一、可对角化的概念
1、定义1:
设σ是几维线性空间V的一个线性变换,如果存在V的一个基,使σ在这组基下的矩阵为对角矩阵,则称线性变换σ可对角化。
2、定义2:
矩阵A是数域P上的一个n级方阵.如果存在一个P上的n级可逆矩阵X,X^-1AX为对角矩阵,则称矩阵A可对角化。
二、可对角化的条件
1、(定理7)设σ为n维线性空间V的一个线性变换,则σ可对角化=σ有n个线性无关的特征向量。
2、(定理8)设σ为雌线性空间V的一个线性变换,如果ε1,ε2,…εk分别是σ的属于互不相同的特征值λ1,λ2…λk的特征向量,则ε1,ε2,…εk线性无关。
3、(推论1)设σ为n维线性空间V的一个线性变换,如果σ的特征多项式在数域P中有n个不同特征值,则口可对角化。特别地,(推论2)在复数域C上的线性空间中,如果线性变换σ的特征多项式没有重根,则σ可对角化。
4、(定理9)设σ为线性空间V的一个线性变换,λ1,λ2…λk是σ的不同特征值,而εi1,εi2,…εir1是属于特征值λi的线性无关的特征向量,i=1,2,...,k,则向量ε11,ε12,…εk1,...,εkrk线性无关。
参考资料来源:百度百科-对角化
本回答被网友采纳