关于高数中隐函数求导的问题

Question

为什么隐函数求导中关于Y的导数要乘以个dy/dx?那导师只要求我们死记，但我非常想知道，望各位数学达人指点迷津。

Answer 1

解说：

楼主耐心一点，我慢慢跟您解释：

1、dy/dx 表示y是x的函数，x的变化，引起y的变化，变化的比值就是导数，就是斜率。

2、我们平时碰到的函数大多是显函数(explicit function)，就是可以解出y,用x来表示y。

3、但是，多数情况下，我们的方程是解不出的，也就是无法写出y=f(x)的形式，如 y + siny = ln(x + y) + 3,解100辈子也解不出来！！这样的函数叫做
隐函数(implicit function).

4、碰到隐函数时，记住y是x的函数，我们求导是对x求导，而不是对y求导，y只是扮演了复合函数的中间角色！如y^2,我们对x求导，因为复合的关系，先对y求导，是d(y^2)/dy = 2y。y^2是复合函数，我们对y求导后得到的是2y,可是y仍然是x的函数，所以还得继续导下去，就是将y对x求导，即还有一个dy/dx.
合起来有： d(y^2)/dx = [d(y^2)/dy]*[dy/dx] = 2y*dy/dx.

5.如果复合关系涉及到更多层次，如y是u的函数，u是v的函数，v是w的函数，w是x的函数。现在要对x求导，就得一步一步连锁导下去：
dy/dx = [dy/du]*[du/dv]*[dv/dw]*[dw/dx]。

如果，还没有讲清楚，请楼主联系本人，我在网上为你义务辅导。OK？

Answer 2

因为对式子两边同时求导是对X求导，所以X可以直接求导，但Y是X的函数，要用复函数求导法则，先外层求导，就是Y',再乘内层求导dy/dx

Answer 3

你的导师咋这不负责任哩？
LZ 明白复合函数的求导吧？其实为了易于理解不妨将隐函数的求导看做是复合函数求导的特例，这样就不难理解为何隐函数中关于 y 的导数要乘以 dy/dx 了。

Answer 4

1.都可以的,不需要消去.其实很多时候都消不去的.
2.不需要讨论正负.
因为结果一样.就相当于大家都知道是怎么回事了.知道加了绝对值一样.
同济大学五版高等数学书就没讨论.大部分书上也没讨论.约定俗成