过抛物线y=x^2上一点p(a ,a^2)作切线，问a取何值时所作切线与抛物线y=-x^2+4x-1所围成的图像面积最小？

Question

如题所述

Answer 1

首先算出这个函数的导数=-2x.那么在p点的直线斜率k=-2a,所以经过p点的直线方程为

y-b=-2a(x-a)。 y=-2ax+2a平方+b。因为这个抛物线本身就与坐标轴围成的图形是固定的，只要这条直线与坐标轴围成的面积最小就可以了。那么这条直线与坐标轴的交点为a（0，2a平方+b).b((2a平方+b)/2a，0）。所以围成的面积=（2a平方+b)平方/4a.

又因为p点在抛物线上，所以b=1-a平方。所以s=（a平方+1）平方/4a=（a四次方+2a平方+1）/4a.

这个后面还是有点问题，算出来，但很麻烦，不过思路是对的。

Answer 2

其实是求两条抛物线的公切线，y=x^2顶点是（0,0）
y＝x^2+4x-1顶点是（-2，-5）
顶点连线的斜率＝5/2。（x²）′＝2x＝5/2。x＝5/4，P（5/4.25/16）,a＝5/4