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过抛物线y=x^2上一点p(a ,a^2)作切线,问a取何值时所作切线与抛物线y=-x^2+4x-1所围成的图像面积最小?
如题所述
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推荐答案 2019-12-05
首先算出这个函数的导数=-2x.那么在p点的直线斜率k=-2a,所以经过p点的直线方程为
y-b=-2a(x-a)。 y=-2ax+2a平方+b。因为这个抛物线本身就与坐标轴围成的图形是固定的,只要这条直线与坐标轴围成的面积最小就可以了。那么这条直线与坐标轴的交点为a(0,2a平方+b).b((2a平方+b)/2a,0)。所以围成的面积=(2a平方+b)平方/4a.
又因为p点在抛物线上,所以b=1-a平方。所以s=(a平方+1)平方/4a=(a四次方+2a平方+1)/4a.
这个后面还是有点问题,算出来,但很麻烦,不过思路是对的。
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第1个回答 2019-12-05
其实是求两条抛物线的公切线,y=x^2顶点是(0,0)
y=x^2+4x-1顶点是(-2,-5)
顶点连线的斜率=5/2。(x²)′=2x=5/2。x=5/4,P(5/4.25/16),a=5/4
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