有关正态分步的概率论题

Question

X与Y均服从正态分步 为什么X+Y也服从正态分步

Answer 1

若X服从N(a,b^2)的正态分布，则其矩母函数(Moment Generating Function)为g(t)=E[exp(tX)]=exp(at + t^2b^2/2)。由于矩母函数和分布函数是一一对应的，如果一个随机变量具有矩母函数g(t)=exp(at + t^2b^2/2)，就可以说明该随机变量服从的是均值为a方差为b^2的正态分布.

为了验证X+Y是正态分布，就要证明其矩母函数E[exp(t(X+Y))]具有以上的矩母函数“形式”，而要获得X+Y的矩母函数，就要求期望值，就要得到它的分布函数，这是比较简单的。如果X和Y独立，分布函数就是两者分布函数的乘积，；如果X和Y相关，就可以做个二重积分就行了。