几道初3数学题

Question

1 一个正三角形与一个正六边形的周长相等， 他们的面积比是？
2 一个正三角形与一个正六边形的面积相等， 他们的边长比是？
3 正六边行ABCEDF的对角线BF与对角线AC，AE分别交于点G H。求证 BG= GH= HF。

Answer 1

解：1、设正六边形的边长是a（a不等于0），那么正三角形的边长就是2a。
很容易求得正三角形的面积=√￣3a^2 (根下三乘以a的平方）
正六边形实际上是两个等腰梯形组成的。
等腰梯形的上底是正六边形的边=a，下底是正六边形的中轴线=2a，
高=√￣3a/2。
面积可求为3√￣3a^2/2 (三倍的根下三乘以a的平方除以二）
那么正三角形与正六边形面积之比=2：3
2、设它们的面积是√￣3a^2。那么正三角形变长=2a。
根据上面一题中正六边形是由两个等腰梯形组成，高与上下底的关系，可求得正六边形边长=√￣6a/3 （根下六乘以a除以三）
那么正三角形与正六边形边长之比=√￣6：1
3、因为正六边形的每个角都是120°，又因为△AEF和△ABC是等腰三角形。
所以，∠FAE=∠BAC=30°。
因为△ACE是正三角形，所以∠HAG=60°。AH=HG=GA…………①。
∠AFE=∠AFB+∠BFE，得∠AFB=30°。
那么在△AFH中，∠HAF=∠HFA=30°，则AH=HF…………②。
同理，△ABG中，AG=BG…………③。
综合①，②，③，得BG=GH=HF。

Answer 2

1、解：假设正三角形的边长为a，则其周长为3a
那么，正六边形的周长为3a,其边长为3a/6=a/2
可以将这个正六边形沿中心点，分为相等面积的6个正三角形，而每个正三角形的边长为a/2
先求大正三角形的面积，其底为a,其高为 根号[a^2-(a/2)^2]=根号（3a^2/4）=[根号（3a^2）]/2
故面积为a*[根号（3a^2）]/4
同理，再求小正三角形的面积，其底为a/2,其高为 根号[（a/2）^2-(a/4)^2]=根号（3a^2/16）=[根号（3a^2）]/4，故面积为（a/2）*[根号（3a^2）]/8=a*[根号（3a^2）]/16
故这个正六边形的面积就为6*[根号（3a^2）]/16=3*[根号（3a^2）]/8
所以，其面积比为2：3