初三数学题

Question

已知二次函数y=x平方+mx+m-5，求证：1.不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点。2.当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间距离最短

Answer 1

1. 方程x平方+mx+m-5=0的判别式为：m^2-4(m-5)=m^2-4m+20=(m-2)^2+16>=16>0

因此不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点。

2. 两交点设为(x1,0)和（x2，0），则根据韦达定理，x1*x2=m-5,x1+x2=-m

两交点距离为绝对值（x2-x1)=根号[(x1+x2)^2-4x1x2]=根号[m^2-4(m-5)]=根号[(m-2)^2+16]

当m=2时，上式值最小为根号16=4

因此m=2时，抛物线与x轴两交点之间距离最短

Answer 2

y=x²+mx+m-5
判别式=m²-4(m-5)=m²-4m+20=(m-2)²+16一定大于0
所以抛物线总与x轴有两个交点

x轴上y=0
y=x²+mx+m-5=0
由韦达定理
x1+x2=-m,x1x2=m-5
(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1x2
=m²-4(m-5)
=(m-2)²+16
m=2, (x1-x2)²最小=16
则距离= |x1-x2|
所以m=2时距离最短本回答被提问者采纳

Answer 3

1：Δ=㎡-4*<m-5>=（m-2）的平方+16 是恒大于0的，故有两交点，这不需要证明的。补充Δ=0时抛物线与X轴一个交点，小于零时无交点，大于0时有2个不同的交点。
2：设两根为X1和X2，则两交点间距离就是X1-X2的绝对值，而有X1+X2=-m,X1*X2=m-5，故X1-X2的绝对值等于㎡-4m+20,当m等于2时，取最小值16

Answer 4

1.△=m^2-4*(m-5)
=m^2-4m+20
=(m-2)^2+16 恒＞0
所以。当y=0时。x^2+mx+m-5=0 一定有两个解。即两个交点

2.设两个交点的坐标为（X1，0）（X2，0）。（X1＜X2）
由韦达定理可知：X1+X2=-m X1*X2=m-5
∴两交点距离=X2-X1=√（X2-X1）^2
=√（X1+X2）^2-4X1*X2
=√m^2-4m+20
=√(m-2)^2+16 ≥16
所以距离X2-X1最小为4

Answer 5

1)Δ=m^2-4*1*(m-5)=m^2-4m+20=（m-2)^2+16≥16
2abs(x1-x2)=sqr((x1+x2)^2-4x1x2)=sqr((m-2)^2+16)≥4
abs为绝对值 sqr为算数平方根